《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

10. (2023·广州天河区模拟)已知$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$是抛物线$C:y^{2}=x$上不同于原点$O$的两点,点$F$是抛物线$C$的焦点,点$M$是线段$AB$的中点,则 ( )
A. 抛物线$C$的准线方程为$y = -\frac{1}{4}$
B. 当直线$AB$的斜率$k$存在时,$k = \frac{1}{y_{1}+y_{2}}$
C. 当$A,B,F$三点共线时,$|AB| = x_{1}+x_{2}+\frac{1}{2}$
D. 当直线$AB$过点$(1,0)$时,$|OM| = \frac{1}{2}|AB|$

答案： BCD [抛物线$y^{2}=x$的准线方程为$x=-\frac{1}{4}$,A 错误;因为点$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$在抛物线$C$上,所以$y_{1}^{2}=x_{1}$,$y_{2}^{2}=x_{2}$,所以$(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=x_{1}-x_{2}$,若直线$AB$的斜率$k$存在,则$k=\frac{1}{y_{1}+y_{2}}$,B 正确;当$A$,$B$,$F$三点共线时,$\vert AB\vert=\vert AF\vert+\vert BF\vert=x_{1}+\frac{1}{4}+x_{2}+\frac{1}{4}=x_{1}+x_{2}+\frac{1}{2}$,C 正确;若直线$AB$过点$(1,0)$且斜率为$0$,则其方程为$y = 0$,直线$y = 0$与抛物线$y^{2}=x$只有一个交点,与条件矛盾,所以设直线$AB$的方程为$x = ty + 1$,联立$\begin{cases}y^{2}=x\\x = ty + 1\end{cases}$,消去$x$,可得$y^{2}-ty - 1 = 0$,方程$y^{2}-ty - 1 = 0$的判别式$\Delta=t^{2}+4\gt0$,所以$y_{1}+y_{2}=t$,$y_{1}y_{2}=-1$. 设点$M$的坐标为$(x_{0},y_{0})$,$y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{t}{2}$,$x_{0}=\frac{t^{2}}{2}+1$,所以$\vert OM\vert=\sqrt{(\frac{t^{2}}{2}+1)^{2}+\frac{t^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{t^{4}+5t^{2}+4}{4}}=\frac{\sqrt{t^{4}+5t^{2}+4}}{2}$,$\vert AB\vert=\sqrt{1 + t^{2}}\vert y_{2}-y_{1}\vert=\sqrt{1 + t^{2}}\sqrt{(y_{2}+y_{1})^{2}-4y_{1}y_{2}}=\sqrt{1 + t^{2}}\sqrt{t^{2}+4}=\sqrt{t^{4}+5t^{2}+4}$,所以$\vert OM\vert=\frac{1}{2}\vert AB\vert$,D 正确. 故选 BCD.]

11. (2023·江苏南通统考模拟预测)已知双曲线$C:x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$,点$P$是双曲线$C$的右支上一点,过点$P$的直线$l$与双曲线$C$的两条渐近线交于点$M,N$,则 ( )
A. $|PF_{1}|^{2}-|PF_{2}|^{2}$的最小值为8
B. 若直线$l$经过点$F_{2}$,且与双曲线$C$交于另一点$Q$,则$|PQ|$的最小值为6
C. $|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|-|OP|^{2}$为定值
D. 若直线$l$与双曲线$C$相切,则点$M,N$的纵坐标之积为-3

答案：
ACD [依题意$a = 1$,$b=\sqrt{3}$,$c = 2$,$F_{1}(-2,0)$,$F_{2}(2,0)$,$\vert PF_{1}\vert-\vert PF_{2}\vert = 2a = 2$,设$P(x_{0},y_{0})$,则$x_{0}\geqslant1$,$x_{0}^{2}-\frac{y_{0}^{2}}{3}=1$,

即$y_{0}^{2}=3x_{0}^{2}-3$,双曲线$C$的渐近线方程为$y=\pm\sqrt{3}x$. 对于 A,$\vert PF_{1}\vert^{2}-\vert PF_{2}\vert^{2}=(x_{0}+2)^{2}+y_{0}^{2}-[(x_{0}-2)^{2}+y_{0}^{2}]=8x_{0}\geqslant8$,A 正确;对于 B,若$Q$在双曲线$C$的右支,则通径最短,通径长为$\frac{2b^{2}}{a}=6$,若$Q$在双曲线$C$的左支,则实轴最短,实轴长为$2a = 2\lt6$,B 错误;对于 C,$\vert PF_{1}\vert\cdot\vert PF_{2}\vert-\vert OP\vert^{2}=\sqrt{(x_{0}+2)^{2}+y_{0}^{2}}\cdot\sqrt{(x_{0}-2)^{2}+y_{0}^{2}}-(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})=\sqrt{(x_{0}+2)^{2}+3x_{0}^{2}-3}\cdot\sqrt{(x_{0}-2)^{2}+3x_{0}^{2}-3}-(x_{0}^{2}+3x_{0}^{2}-3)=4x_{0}^{2}-1-(4x_{0}^{2}-3)=2$,为定值,C 正确;对于 D,不妨设$M(x_{1},\sqrt{3}x_{1})$,$N(x_{2},-\sqrt{3}x_{2})$,直线$l$的方程为$x = my + n$,由$\begin{cases}x = my + n\\x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1\end{cases}$,得$(3m^{2}-1)y^{2}+6mny+3n^{2}-3 = 0$,若直线$l$与双曲线$C$相切,则$\Delta=36m^{2}n^{2}-12(3m^{2}-1)(n^{2}-1)=0$,化简整理,得$n^{2}=1 - 3m^{2}$,则点$M$,$N$的纵坐标之积为$-3x_{1}x_{2}=-3\cdot\frac{n}{1-\sqrt{3}m}\cdot\frac{n}{1+\sqrt{3}m}=-\frac{3n^{2}}{1 - 3m^{2}}=-3$,D 正确. 故选 ACD.]

12. (2023·甘肃兰州五十一模)已知直线$l_{1}:y = 2x$,则过圆$x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 1 = 0$的圆心且与直线$l_{1}$垂直的直线$l_{2}$的方程为______.

答案： 答案 $x + 2y - 3 = 0$
解析 圆$x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 1 = 0$,化为标准方程可得$(x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}=4$,则圆心坐标为$(-1,2)$,直线$l_{1}$与直线$l_{2}$垂直,由两条直线垂直的斜率关系可得直线$l_{2}$的斜率为$k=-\frac{1}{2}$,由点斜式方程可得$y - 2=-\frac{1}{2}(x + 1)$,化简,得$x + 2y - 3 = 0$.

13. 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$,点$M$与$C$的焦点不重合.若$M$关于$C$的焦点的对称点分别为$A,B$,线段$MN$的中点在$C$上,则$|AN|+|BN| =$______.

答案：
答案 $12$
解析 根据已知条件画出图形,如图. 设$MN$的中点为$P$,$F_{1}$,$F_{2}$为椭圆$C$的焦点,连接$PF_{1}$,$PF_{2}$. 显然$PF_{1}$是$\triangle MAN$的中位线,$PF_{2}$是$\triangle MBN$的中位线,所以$\vert AN\vert+\vert BN\vert=2\vert PF_{1}\vert+2\vert PF_{2}\vert=2(\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert)=2\times6 = 12$.

14. (2023·江西赣州统考模拟预测)已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$,过双曲线$C$的右焦点$F$作直线$l$交双曲线$C$的渐近线于$A,B$两点,其中点$A$在第一象限,点$B$在第四象限,且满足$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FA}$,$|AF|=\frac{4\sqrt{2}}{3}a$,则双曲线$C$的离心率为______.

答案：
答案 $\frac{4}{3}$
解析 双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt0,b\gt0)$的右焦点$F(c,0)$,渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$,

设$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$,因为$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FA}$,所以$(c - x_{2},-y_{2})=\frac{1}{2}(x_{1}-c,y_{1})$,所以$\begin{cases}c - x_{2}=\frac{1}{2}(x_{1}-c)\\-y_{2}=\frac{1}{2}y_{1}\end{cases}$,即$x_{1}+2x_{2}=3c$ ①,$y_{1}=-2y_{2}$ ②,又$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$分别在渐近线$y=\frac{b}{a}x$,$y=-\frac{b}{a}x$上,所以$y_{1}=\frac{b}{a}x_{1}$,$y_{2}=-\frac{b}{a}x_{2}$,代入②,可得$x_{1}=2x_{2}$,再代入①,得$x_{1}=\frac{3}{2}c$,$x_{2}=\frac{3}{4}c$,故$y_{1}=\frac{b}{a}x_{1}=\frac{3bc}{2a}$,则$A(\frac{3}{2}c,\frac{3bc}{2a})$,所以$\vert AF\vert=\sqrt{(\frac{3}{2}c - c)^{2}+(\frac{3bc}{2a})^{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}a$,整理得$9c^{2}a^{2}+81b^{2}c^{2}-128a^{4}=0$,又$b^{2}=c^{2}-a^{2}$,所以$81c^{4}-72a^{2}c^{2}-128a^{4}=0$,即$(9c^{2}-16a^{2})(9c^{2}+8a^{2}) = 0$,故$9c^{2}-16a^{2}=0$,所以$\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9}$,则双曲线$C$的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{3}$.