《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

8. 设函数$f(x)=\begin{cases}2^{1 - x},x\leq1\\1 - \log_2x,x ＞ 1\end{cases}$，则满足$f(x)\leq2$的$x$的取值范围是（ ）
A. $[-1,2]$
B. $[0,2]$
C. $[1,+\infty)$
D. $[0,+\infty)$

答案： D　[由{x ＞ 1，2^(1 - x) ≤ 2}可得0 ≤ x ≤ 1，由{x ＞ 1，1 - log₂x ≤ 2}可得x ＞ 1. 综上，满足f(x) ≤ 2的x的取值范围是[0，+∞).]

9.（多选）设$a,b,c$都是正数，且$4^a = 6^b = 9^c$，那么（ ）
A. $ab + bc = 2ac$ B. $ab + bc = ac$
C. $\frac{2}{c}=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$ D. $\frac{1}{c}=\frac{2}{b}-\frac{1}{a}$

答案： AD　[由于a，b，c都是正数，故可设4^a = 6^b = 9^c = M，
∴a = log₄M，b = log₆M，c = log₉M，则1/a = logₘ4，1/b = logₘ6，1/c = logₘ9.
∵logₘ4 + logₘ9 = 2logₘ6，
∴1/a + 1/c = 2/b，即1/c = 2/b - 1/a，去分母整理得，ab + bc = 2ac. 故选AD.]

10.（多选）已知函数$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(2 - x)-\log_2(x + 4)$，则下列结论中正确的是（ ）
A. $f(x)$的定义域是$[-4,2]$
B. $y = f(x - 1)$是偶函数
C. $f(x)$在区间$[-1,2)$上是增函数
D. $f(x)$的图象关于直线$x = -1$对称

答案： BCD

11. 已知函数$f(x)=\begin{cases}2+\log_2(2 - x),x ＜ 2\\3^{x - 2},x\geq2\end{cases}$，则$f(0)+f(\log_336)=$________.

答案： 答案 7

12. 已知函数$f(x)=|\ln x - a|+a(a ＞ 0)$在$[1,e^2]$上的最小值为$1$，则$a$的值为________.

答案： 答案 1

13.（2022·天津高考）化简$(2\log_43+\log_83)(\log_32+\log_92)$的值为（ ）
A. $1$
B. $2$
C. $4$
D. $6$

答案： B　[原式 = (2×1/2 log₂3 + 1/3 log₂3)(log₂3 + 1/2 log₂3) = 4/3 log₂3×3/2 log₂3 = 2.]

14.（2022·全国甲卷）已知$9^m = 10,a = 10^m - 11,b = 8^m - 9$，则（ ）
A. $a ＞ 0 ＞ b$
B. $a ＞ b ＞ 0$
C. $b ＞ a ＞ 0$
D. $b ＞ 0 ＞ a$

答案： A

15.（2021·新高考Ⅱ卷）已知$a = \log_52,b = \log_83,c = \frac{1}{2}$，则下列判断正确的是（ ）
A. $c ＜ b ＜ a$
B. $b ＜ a ＜ c$
C. $a ＜ c ＜ b$
D. $a ＜ b ＜ c$

答案： C　[a = log₅2 ＜ log₅√5 = 1/2 = log₈2√2 ＜ log₈3 = b，即a ＜ c ＜ b. 故选C.]

16.（2021·天津高考）若$2^a = 5^b = 10$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$（ ）
A. $-1$
B. $\lg7$
C. $1$
D. $\log_710$

答案： C

17.（2020·新高考Ⅱ卷）已知函数$f(x)=\lg(x^2 - 4x - 5)$在$(a,+\infty)$单调递增，则$a$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,-1]$
B. $(-\infty,2]$
C. $[2,+\infty)$
D. $[5,+\infty)$

答案： D　[由x² - 4x - 5 ＞ 0，解得x ＞ 5或x ＜ -1，所以函数f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(5，+∞). 又函数y = x² - 4x - 5在(5，+∞)单调递增，在(-∞，-1)单调递减，所以函数f(x) = lg(x² - 4x - 5)在(5，+∞)单调递增，所以a ≥ 5. 故选D.]

18.（2020·全国Ⅰ卷）若$2^a+\log_2a = 4^b+2\log_4b$，则（ ）
A. $a ＞ 2b$
B. $a ＜ 2b$
C. $a ＞ b^2$
D. $a ＜ b^2$

答案： B　[设f(x) = 2^x + log₂x，则f(x)为增函数. 因为2^a + log₂a = 4^b + 2log₄b = 2^(2b) + log₂b，所以f(a) - f(2b) = 2^a + log₂a - (2^(2b) + log₂2b) = 2^(2b) + log₂b - (2^(2b) + log₂2b) = log₂1/2 = -1 ＜ 0，所以f(a) ＜ f(2b)，所以a ＜ 2b，所以A错误，B正确；f(a) - f(b²) = 2^a + log₂a - (2^(b²) + log₂b²) = 2^(2b) + log₂b - (2^(b²) + log₂b²) = 2^(2b) - 2^(b²) - log₂b，当b = 1时，f(a) - f(b²) = 2 ＞ 0，此时f(a) ＞ f(b²)，有a ＞ b²，当b = 2时，f(a) - f(b²) = -1 ＜ 0，此时f(a) ＜ f(b²)，有a ＜ b²，所以C，D错误. 故选B.]

19.（2020·全国Ⅲ卷）已知$5^5 ＜ 8^4,13^4 ＜ 8^5$. 设$a = \log_53,b = \log_85,c = \log_{13}8$，则（ ）
A. $a ＜ b ＜ c$
B. $b ＜ a ＜ c$
C. $b ＜ c ＜ a$
D. $c ＜ a ＜ b$

答案： A　[
∵a，b，c ∈ (0，1)，a/b = log₅3 / log₈5 = lg 3 / lg 5×lg 8 / lg 5 ＜ 1 / (lg 5)²×((lg 3 + lg 8)/2)² = ((lg 3 + lg 8)/2lg 5)² = ((lg 24)/lg 25)² ＜ 1，
∴a ＜ b. 由b = log₈5，得8^b = 5，由5^5 ＜ 8^4，得8^(5b) ＜ 8^4，
∴5b ＜ 4，可得b ＜ 4/5. 由c = log₁₃8，得13^c = 8，由13^4 ＜ 8^5，得13^4 ＜ 13^(5c)，
∴5c ＞ 4，可得c ＞ 4/5. 综上所述，a ＜ b ＜ c. 故选A.]