《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

5.（2023·江西赣抚吉十一校联盟体高三下4月联考）已知点$A$是椭圆$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$的右顶点，$F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$分别为$E$的左、右焦点，过$F_1$的直线与$E$交于$P$，$Q$两点（均与点$A$不重合），$\triangle PQF_2$的周长等于$E$的短轴长的$\sqrt{5}$倍。
（1）求$E$的方程；
（2）若直线$AP$，$AQ$与直线$x = - 5$分别交于点$M$，$N$，则$\frac{1}{|F_1M|^2}+\frac{1}{|F_1N|^2}$的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出其取值范围。

答案：

6.（2023·河南安阳一中、鹤壁高中、新乡一中高三下联考）定义：一般地，当$\lambda＞0$且$\lambda\neq1$时，我们把方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\lambda(a＞b＞0)$表示的椭圆$C_{\lambda}$称为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$的相似椭圆。已知椭圆$C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$，椭圆$C_{\lambda}(\lambda＞0$且$\lambda\neq1)$是椭圆$C$的相似椭圆，点$P$为椭圆$C_{\lambda}$上异于其左、右顶点$M$，$N$的任意一点。
（1）当$\lambda = 2$时，若与椭圆$C$有且只有一个公共点的直线$l_1$，$l_2$恰好相交于点$P$，直线$l_1$，$l_2$的斜率分别为$k_1$，$k_2$，求$k_1k_2$的值；
（2）当$\lambda = e^2$（$e$为椭圆$C$的离心率）时，设直线$PM$与椭圆$C$交于$A$，$B$两点，直线$PN$与椭圆$C$交于$D$，$E$两点，求$|AB|+|DE|$的值。

答案：