《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1.已知方程$\frac{x^{2}}{1 + k}-\frac{y^{2}}{1 - k}=1$表示双曲线，则实数$k$的取值范围是（ ）
A. $(-1,1)$
B. $(0,+\infty)$
C. $[0,+\infty)$
D. $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

答案： A[由题意,方程$\frac{x?}{1+k}$−辽1−k=1表示双曲线，则满足(1+k).(1−k)＞0,解得−1＜k＜1,即实数k的取值范围是(−1,1).故选A.]

2.已知圆$C_{1}:(x + 3)^{2}+y^{2}=1$和圆$C_{2}:(x - 3)^{2}+y^{2}=9$，动圆$M$同时与圆$C_{1}$及圆$C_{2}$相外切，则动圆的圆心$M$的轨迹方程为（ ）
A. $x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1(x\leq -1)$
B. $x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$
C. $x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1(x\geq 1)$
D. $\frac{y^{2}}{8}-x^{2}=1$

答案： A[设动圆M的半径为r,则|MC|=r+1,|MC|=r+3,则|MC2|−|MC1|=2＜|CC|=6,根据双曲线的定义知,动圆的圆心M的轨迹为双曲线x²−K8=1的左半支故选A.]

3.已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt 0,b\gt 0)$的焦距为$10$，点$P(2,1)$在$C$的渐近线上，则$C$的方程为（ ）
A. $\frac{x^{2}}{20}-\frac{y^{2}}{5}=1$
B. $\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{20}=1$
C. $\frac{x^{2}}{80}-\frac{y^{2}}{20}=1$
D. $\frac{x^{2}}{20}-\frac{y^{2}}{80}=1$

答案： A[
∵双曲线$\frac{x}{a}$−辽b²=1的焦距为10,
∴c=5=$\sqrt{a²+b²}$　①.又双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x,且P(2,1)在渐近线上,
∴$\frac{2b}{a}$=1,即a=2b②.由①②,解得a=2√5,b=√5,则C的方程为$\frac{x²}{20}$−辽5=1.故选A.]

4.设双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt 0,b\gt 0)$的右焦点为$F$，以$OF$为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点$A$（$O$为坐标原点），且$|OA| = 2|AF|$，则双曲线$C$的离心率$e$为（ ）
A. $\sqrt{5}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
C. $\sqrt{2}$
D. $2$

答案： B

5.设$F_{1},F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$的两个焦点，$P$是双曲线上的一点，且$3|PF_{1}| = 5|PF_{2}|$，则$\triangle PF_{1}F_{2}$的面积为（ ）
A. $24$
B. $15\sqrt{2}$
C. $12\sqrt{3}$
D. $30$

答案： A　[由3|PF;|=5|PF2|,得|PF|=$\frac{5}{3}$|PF1,又P是双曲线$\frac{x²}{4}$−辽12=1上的−点,则|PF,1|−|PF2∣=$\frac{2}{3}$|PF2|=4,则|PF21=6,|PF|=10,又|F1F2|=8,则|PF｜²+|F1F21²=
　|PFI²,则PF⊥FlF,则△PFF的面积为$\frac{1}{2}$|PF2|.|FF|=$\frac{1}{2}$×6×8=24.故选A.]

6.（多选）已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$，点$A,B$在双曲线$C$上，$AB$的中点为$(1,1)$，则（ ）
A. $C$的渐近线方程为$y=\pm \frac{1}{2}x$
B. $C$的右焦点为$(\sqrt{5},0)$
C. $C$与圆$x^{2}+y^{2}=1$没有交点
D. 直线$AB$的方程为$x - 4y + 3 = 0$

答案： CD