《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

19.（2024·辽宁鞍山高三上学期第一次质量监测）已知函数$f(x)=ke^{x}-\frac{1}{2}x^{2}-2x$，若$f(x)$为R上的增函数，则k的取值范围为　(　　　)
A. $[\frac{1}{e},+\infty)$　
　B. [e,+∞)　　
　C. [e + 1,+∞)
　D. [2e,+∞)

答案： B[由f(x)=kex−$\frac{1}{2}$x²−2x,得f(x)=ke²−x−2,因为f(x)
　为R上的增函数,所以f(x)≥0在R上恒成立,即ke²一x−2 ≥0在R上恒成文,即k≥$\frac{x+2}{e'}$在R上恒成立,令g(x)=
　$\frac{x+2}{e"}$,则g(x)=$\frac{−x−1}{e"}$,当x＜−1時,g'(x)＞0,当x＞−1 时,g'(x)＜0,所以当x=−1时,函数g(x)取得最大值g(−1)=e,所以k≥e,所以k的取值范围为[e,+oo).故选B.]

20.（2023·四川乐山高三模拟）若$x = 2$是函数$f(x)=x^{2}+2(a - 2)x-4a\ln x$的极大值点，则实数a的取值范围是　　　　　　　(　　　)
A. (-∞,-2)
　B. (-2,+∞)
　C. (2,+∞)　　
　D. (-2,2)

答案： A　[f(x)=2x+2(a−2)−$\frac{4a}{x}$=$\frac{2x²+2(a−2)x−4a}{x}$=
　$\frac{2(x−2)(x+a)}{x}$(x＞0).若a≥0时,当x＞2时,f(x)＞0;当0＜x＜2时,f(x)＜0,则∮(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+oo)上单调递增.所以当x=2时,f(x)取得极小值,不符合题意.当a＜−2时,由f(x)＞0可得0＜x＜2或x＞−a;由f(x)＜0可得2＜x＜−a,所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,一a)上单调递减,在(一a,十oo)上单调递增.所以当x=2 时,f(x)取得极大值,符合题意当−2＜a＜0时,由f(x)＞0 可得0＜x＜−a或x＞2;由f(x)＜0可得−α＜x＜2,所以∮(x)在(0,一a)上单调递增,在(一a,2)上单调递减,在(2,+oo)上单调递增.所以当x=2时,f(x)取得极小值,不符合题意.当α=−2时,f(x)≥0在(0,+oo)上恒成立,即f(x)
　在(0,+oo)上单调递增,此时f(x)无极值,不符合题意.综上所述，实数α的取值范围是(一oo,−2).]

21.（多选）（2024·山西运城高三摸底）已知函数$f(x)$的定义域为(0,+∞)，其导函数为$f^{\prime}(x)$，且$f(x)+f^{\prime}(x)=x\ln x$，$f(\frac{1}{e})=-\frac{1}{e}$，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $e^{\frac{1}{e}-1}f(\frac{1}{e})\gt f(1)$　　　　　
　B. $e^{e - 1}f(e)\gt f(1)$
C. $f(x)$在(0,+∞)上是增函数
　D. $f(x)$存在最小值

答案： ABC[设F(x)=e²−¹f(x),则F'(x)=ex−[f(x)+f(x)]=e²−xlnx,当x＞1时,F'(x)＞0,当0＜x＜1时,F'(x)＜0,故F(x)=e−¹∮(x)在(1,+oo)上单调递增,在(0,1)上单调递减.对于A,因为$\frac{1}{e}$＜1,所以F($\frac{1}{e}$)＞F
(1),即e÷−¹f($\frac{1}{e}$
　＞∮
(1),故A正确;对于B,因为e＞1,所以F(e)＞F
(1),即ee−f(e)＞∮
(1),故B正确;对于C,∮(x)=$\frac{F(x)}{e−1}$,则f(x)=
　$\frac{F'(x)−F(x)}{e−}$,令g(r)=F'(x)−F(x),则g²,(x)=(e−¹x1nx)
　−e←xlnx=e−¹(1+1nx),当x＞$\frac{1}{e}$时,g'(x)＞0,当0＜x ＜$\frac{1}{e}$时,g(x)＜0,故g(x)=F'(x))−F(x)在(0,$\frac{1}{e}$上单调递减,在($\frac{1}{e}$,+8)上单调递增，又g$\frac{1}{e}$)=F　$\frac{1}{e}$一F($\frac{1}{e}$)=e−¹.$\frac{1}{e}$1n$\frac{1}{e}$−e÷−¹¹s($\frac{1}{e}$　=−e+−1.$\frac{1}{e}$+e+−1.$\frac{1}{e}$=0,故g(x)=F'(x)−F(x)≥0恒成立,所以f(r)
　=$\frac{F'(x)−F(x)}{e−1}$≥0在(0,+oo)上恒成立,所以f(x)在(0,十oo)上是增函数,故C正确;对于D,由C项可知,函数∮((x)
　在(0,÷oo)上单调递增，故无最小值，故D错误,故选ABC.]

22.（2023·吉林长春高三模拟）已知函数$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-2x + 1$，若函数$f(x)$在(2a - 2,2a + 3)上存在最小值，则实数a的取值范围是_______.

答案： 答案　[−$\frac{3}{4}$,$\frac{3}{2}$)
　解析　f(x)=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{2}$x²−2x+1,f(x)=x²+x−2=
　(x+2)(x−1),当−2＜x＜1时,f(x)＜0,f(x)单调递减;当x＜−2或x＞1时,f(x)＞0,f(x)单调递增,
∴f(x)在x=1
处取得极小值,在r=−2处取得极大值.令f(x)=∮
(1),解得x=1或x=−$\frac{7}{2}$,又函数f(x)在(2a−2,2a+3)上存在最小值，且(2a−2,2a+3)为开区间,
∴−$\frac{7}{2}$≤2a−2＜1＜2a+3,解得−$\frac{3}{4}$≤a＜$\frac{3}{2}$,即实数α的取值范围是[−$\frac{3}{4}$,$\frac{3}{2}$

1.（2023·北京高考）设函数$f(x)=x - x^{3}e^{ax + b}$，曲线$y = f(x)$在点(1,f(1))处的切线方程为$y = - x + 1$.
(1)求a，b的值；
(2)设函数$g(x)=f^{\prime}(x)$，求$g(x)$的单调区间；
(3)求$f(x)$的极值点个数.

答案： 解　
(1)因为f(x)=x−x²e+⁶,x∈R,
　所以f(x)=1−(3x²+ax²)e+6,
　因为曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y=−x+1,所以∮
(1)=−1+1=0,f
(1)=−1,
　则{11−−1(²3×+eaa+)ebα=+60=,−1,解得{αb==1−.1,
(2)由
(1)得g(x)=f(x)=1−(3.x²−x²)e−x+¹(x∈R),
　则g'(x)=−x(x²−6x+6)e−x+¹,
　令x²−6x+6=0,解得x=3±　$\sqrt{3}$,
　不妨设x1=3−$\sqrt{3}$,x=3+$\sqrt{3}$,则0＜x1＜x2,
　易知e−+¹＞0恒成立,
　所以令g(x)＜0,解得0＜x＜x1或x＞r2;
　令g’(x)＞0,解得r＜0或x1＜x＜r2,
　所以g(x)在(0,xI),(x2,+oo)上单调递减,在(一co,0),(x1,x2)上单调递增，
　即g(x)的单调递减区间为(0,3-$\sqrt{3}$)和(3+　$\sqrt{3}$,+8),单调递增区间为(一∞o,0)和(3−$\sqrt{3}$,3+　$\sqrt{3}$).
(3)由
(1)得f(x)=x−r²e−x+¹(x∈R),f(x)=1−(3x²−x²)e−x+¹,
　由
(2)知f(x)在(0,x1),(x2,+oo)上单调递减,在(−0o,0),(x1,x2)上单调递增,
　当x＜0时,f(−1)=1−4e²＜0,f
(0)=1＞0,
　即f(−1)f
(0)＜0,
　所以f(x)在(一∞o,0)上存在唯一零点,不妨设为x3,
　则−1＜x3＜0,
　此时,当x＜x3时,f(x)＜0,则∮(x)单调递减;当x＜x＜0 时,f(x)＞0,则∮(x)单调递增,
　所以f(x)在(一oo,0)上有一个极小值点;
　当x∈(0,x1)時,f(x)在(0,x1)上单调递减,
　则f(x1)=f(3|　$\sqrt{3}$)＜f
(1)=1−2＜0,故f
(0)f(x1)＜0,所以f(x)在(0,x1)上存在唯一零点,不妨设为x4,
　则0＜x4＜r1,
　此时,当0＜x＜x时,f(x)＞0,则f(x)单调递增;当x4＜x＜x时,f(x)＜0,则f(x)单调递减,
　所以f(x)在(0,x1)上有一个极大值点;
　当x∈(x1,x2)时,f(x)在(x,x2)上单调递增,
　则f(x2)=f(3+√3))＞f
(3)=1＞0,故f(x1)f(x2)＜0,所以f(x)在(x1,x)上存在唯一零点,不妨设为x,则x1＜x5＜x2,此时,当x1＜x＜x5时,f(x)＜0,则f(x)单调递减;当x＜x ＜x2时,f(x)＞0,则f(x)单调递增,
　所以f(x)在(x1,x2)上有一个极小值点;
　当x＞x2=3+　$\sqrt{3}$＞3时,3x²−x²=x²(3−x)＜0,
　所以f(x)=1−(3x²−x²)e−x+¹＞0,则∮(x)单调递增,
　所以f(x)在(x2,+oo)上无极值点.
　综上,f(x)在(一oo,0)和(x,x2)上各有一个极小值点,在(0,x1)上有一个极大值点，共有3个极值点.