《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

13.（2023·陕西安康中学校考模拟预测）在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，L，M，N分别为棱A₁B₁，AD，CC₁的中点，则平面LMN与平面CBD₁的位置关系是 （ ）
A. 垂直
B. 相交不垂直
C. 平行
D. 重合

答案：
13.A　[设棱AA₁,B₁C₁的中点分别为P,Q,连接LP,PM,LQ,QN,BC₁,B₁C,如图所示,在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中,C₁D₁⊥平面BCC₁B₁,CB₁⊂平面BCC₁B₁,C₁D₁⊥CB₁.在正方形BCC₁B₁中,BC₁⊥CB₁,BC₁∩C₁D₁ = C₁,BC₁,C₁D₁⊂平面BC₁D₁,
∴CB₁⊥平面BC₁D₁,又BD₁⊂平面BC₁D₁,
∴BD₁⊥CB₁.又Q,N分别为棱B₁C₁,CC₁的中点,
∴NQ//CB₁,
∴BD₁⊥NQ,同理可证BD₁⊥LQ,NQ∩LQ = Q,NQ,LQ⊂平面NQL,
∴BD₁⊥平面NQL,LN⊂平面NQL,
∴BD₁⊥LN,同理可证BD₁⊥LM,又LM∩LN = L,LM,LN⊂平面LMN,
∴BD₁⊥平面LMN,BD₁⊂平面CBD₁,故平面CBD₁⊥平面LMN.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
故选A.]

14.（2023·海南文昌中学校考模拟预测）已知四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD₁上的点，且DP = 2PD₁，AA₁ = 3，AB = 1. 若点Q在侧面BCC₁B₁（包括其边界）上运动，且总保持AQ⊥BP，则动点Q的轨迹长度为 （ ）

A. $\sqrt{3}$
B. $\sqrt{2}$
C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

答案：
14.D　[如图,在侧棱AA₁上取一点R,使得AR = 2RA₁,连接PR,BR,过点A作AN⊥BR交BR于点M,交BB₁于点N,连接AC,CN,由PR//AD,可知PR⊥AN,BR∩PR = R,BR,PR⊂平面BPR,从而AN⊥平面BPR,BP⊂平面BPR,所以BP⊥AN,又由BP在平面ABCD内的射影BD⊥AC,所以BP⊥AC,AN∩AC = A,AN,AC⊂平面ACN,所以BP⊥平面ACN,CN⊂平面ACN,所以BP⊥CN,所以动点Q的轨迹为线段CN,在Rt△ABN和Rt△RAB中,∠BAN = ∠ARB,所以Rt△ABN∽Rt△RAB,则AB/RA₁ = BN/AB,得BN = 1/2,易得CN = √(BN² + BC²)=√((1/2)² + 1²)=√5/2.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
故选D.]

15.（多选）（2024·广东深圳中学高三阶段考试）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是 （ ）

A. BC⊥平面PAC
B. AE⊥EF
C. AC⊥PB
D. 平面AEF⊥平面PBC

答案： 15.ABD　[对于A,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,而BC⊂底面圆面,则PA⊥BC,又由圆的性质可知AC⊥BC,且PA∩AC = A,PA,AC⊂平面PAC,则BC⊥平面PAC,所以A正确;对于B,由A项分析可知,BC⊥AE,又AE⊥PC,且BC∩PC = C,BC,PC⊂平面PBC,所以AE⊥平面PBC,而EF⊂平面PBC,所以AE⊥EF,所以B正确;对于C,若AC⊥PB,又AC⊥BC,PB∩BC = B,所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥PC,与AC⊥PA矛盾,所以AC⊥PB不成立,所以C错误;对于D,由B项分析可知,AE⊥平面PBC,又AE⊂平面AEF,故平面AEF⊥平面PBC,所以D正确.故选ABD.]

16.（多选）（2023·山东临沂二模）如图，在直三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，底面是边长为2的正三角形，AA₁ = 3，点M在BB₁上，且BM = $\frac{1}{2}$MB₁，P为线段C₁M上的点，则 （ ）

A. C₁M⊥平面AMC
B. 当P为C₁M的中点时，直线AP与平面ABC所成角的正切值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C. 存在点P，使得CP⊥AM
D. 存在点P，使得三棱锥P - AMC的体积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$

答案： 16.BD

17.（多选）（2023·湖北名校联盟高三下学期五月联合测评）在四面体P - ABC中，PA⊥平面ABC，AB = BC = $\sqrt{2}$，PA = AC = 2，M∈PB，N∈PC，Q为AC的中点，QH⊥PC，垂足为H，连接BH，则下列结论正确的是 （ ）

A. 平面BQH⊥平面PBC
B. 若平面AMN⊥平面PBC，则一定有AM⊥PB
C. 若平面AMN⊥平面PBC，则一定有AN⊥PC
D. 点R是平面PBC上的动点，AR = $\sqrt{2}$，则当直线AR与BC所成的角最小时，点R到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{10}}{3}$

答案： 17.ABD