《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

6.(2024·上海七宝中学高三阶段练习)我们把等轴双曲线的一部分$C_{1}:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,y\geq0)$与半圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}=a^{2}(y\leq0)$合成的曲线称作“异型”曲线$C$，其中$C_{1}$是焦距为$2\sqrt{2}$的等轴双曲线的一部分，如图所示.

(1)求“异型”曲线$C$的方程；
(2)若$P(0,p)(p\gt0)$，$Q$为“异型”曲线$C$上的点，求$|PQ|$的最小值；
(3)若直线$l:y = kx - 1$与“异型”曲线$C$有两个公共点，求$k$的取值范围.

答案：
解
(1)由题意,可知$C_{1}$满足$\begin{cases}a = b\\2c = 2\sqrt{2}\\a^{2}+b^{2}=c^{2}\end{cases}$,
解得$\begin{cases}a = b = 1\\c=\sqrt{2}\end{cases}$, $\therefore C_{1}:x^{2}-y^{2}=1(y\geqslant0)$,$C_{2}:x^{2}+y^{2}=1(y<0)$,
$\therefore$“异型”曲线C的方程为$x^{2}-y\vert y\vert=1$.
(2)设Q(x,y),则当$y\leqslant0$时,$\vert PQ\vert^{2}=x^{2}+(y - p)^{2}=x^{2}+y^{2}+p^{2}-2py=1 + p^{2}-2py$, $\because-1\leqslant y\leqslant0$,$p>0$,
$\therefore$当y = 0时,$\vert PQ\vert_{min}=\sqrt{1 + p^{2}}$;
当y>0时,$\vert PQ\vert^{2}=x^{2}+(y - p)^{2}=x^{2}+y^{2}+p^{2}-2py=2y^{2}-2py + 1 + p^{2}=2(y-\frac{1}{2}p)^{2}+\frac{1}{2}p^{2}+1$,
当$y=\frac{1}{2}p$时,$\vert PQ\vert_{min}=\sqrt{1+\frac{1}{2}p^{2}}$. $\because\sqrt{1+\frac{1}{2}p^{2}}<\sqrt{1 + p^{2}}$,$\therefore\vert PQ\vert_{min}=\sqrt{1+\frac{1}{2}p^{2}}$.
(3)直线l:y = kx - 1与“异型”曲线C有公共点A(0,-1).
联立$\begin{cases}x^{2}-y^{2}=1(y\geqslant0)\\x^{2}+y^{2}=1(y\leqslant0)\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = 1\\y = 0\end{cases}$或$\begin{cases}x=-1\\y = 0\end{cases}$,
即$C_{1},C_{2}$有公共点B(1,0),C(-1,0).
①当k = 0时,直线l:y=-1,与$C_{1}$无公共点,与$C_{2}$有唯一公共点(0,-1),不符合题意;
②当0<k≤\therefore="" l:y="kx" 1与c_{1}无公共点.=""
\therefore当01时,可知$k>k_{AB}$,则直线l:y = kx - 1与$C_{2}$只有一个公共点.
联立$\begin{cases}x^{2}-y^{2}=1\\y = kx - 1\end{cases}$,得$(1 - k^{2})x^{2}+2kx-2 = 0$,易知$1 - k^{2}\neq0$,
若$\Delta=4k^{2}-4(1 - k^{2})(-2)=0$,解得$k=\pm\sqrt{2}$,
$\because k>1$,$\therefore k=\sqrt{2}$,
此时l:y = kx - 1与$C_{1}$相切于第一象限,只有一个公共点;
若$\Delta=4k^{2}-4(1 - k^{2})(-2)>0$,解得$-\sqrt{2}