《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1. 下列函数中，既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递减的是 （ ）
A. $f(x)=|x| + 1$
B. $f(x)=-x^{2}+1$
C. $f(x)=\ln x^{2}$
D. $f(x)=\frac{\cos x}{x}$

答案： B [对于A，因为f( - x)=| - x| + 1 = f(x)，所以函数f(x)=|x| + 1是偶函数，当x＞0时，f(x)=x + 1，在(0，+∞)上单调递增，故A不符合题意；对于B，因为f( - x)= - ( - x)² + 1= - x² + 1 = f(x)，所以函数f(x)= - x² + 1是偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，故B符合题意；对于C，因为f( - x)=ln( - x)² = ln x² = f(x)，所以函数f(x)=ln x²是偶函数，但在(0，+∞)上单调递增，故C不符合题意；对于D，因为f( - x)= $\frac{\cos( - x)}{ - x}= - \frac{\cos x}{x}= - f(x)$，所以函数f(x)= $\frac{\cos x}{x}$是奇函数，故D不符合题意. 故选B.]

2. 已知函数 $y = f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，当 $x\geqslant0$ 时，$f(x)=x^{2}(1 - \sqrt[3]{x})$，则当 $x\lt0$ 时，$f(x)$ 的表达式是 （ ）
A. $x^{2}(1 - \sqrt[3]{x})$
B. $-x^{2}(1 - \sqrt[3]{x})$
C. $x^{2}(1 + \sqrt[3]{x})$
D. $-x^{2}(1 + \sqrt[3]{x})$

答案： D [当x＜0时， - x＞0，故f( - x)=( - x)²(1 - $\sqrt[3]{ - x}$)=x²(1+$\sqrt[3]{x}$)，又y = f(x)是定义在R上的奇函数，
∴ f(x)= - f( - x)= - x²(1+$\sqrt[3]{x}$).]

3. 已知函数 $f(x)=\frac{1}{2^{x}+1}$，则 （ ）
A. $f(x)$ 为奇函数
B. $f(x)$ 为偶函数
C. $f(x)$ 的图象关于点 $(0,\frac{1}{2})$ 对称
D. $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{1}{2}$ 对称

答案： C [对于A，因为f( - x)= $\frac{1}{1 + 2^{-x}}\neq - f(x)$，则f(x)不是奇函数，故A错误；对于B，因为f( - x)= $\frac{1}{1 + 2^{-x}}\neq f(x)$，则f(x)不是偶函数，故B错误；对于C，因为f(x)+f( - x)= $\frac{1}{1 + 2^{x}}+\frac{1}{1 + 2^{-x}}=\frac{1 + 2^{x}}{1 + 2^{x}} = 1$，所以f(x)的图象关于点(0，$\frac{1}{2}$)对称，故C正确；对于D，因为f(1 - x)= $\frac{1}{1 + 2^{1 - x}}\neq f(x)$，则f(x)的图象不关于直线x = $\frac{1}{2}$对称，故D错误. 故选C.]

4. 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，且满足 $f(2 + x)=f(2 - x)$，当 $x\in(0,2]$ 时，$f(x)=x^{2}+a$，若 $f(2030)=0$，则 $a = $ （ ）
A. $-8$
B. $-4$
C. $0$
D. $4$

答案： B [因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2 + x)=f(2 - x)= - f(x - 2)，所以f(4 + x)= - f(x)，所以f(8 + x)=f(x)，所以f(x)的周期为8，所以f
(2030)=f( - 2)= - f
(2)= - 4 - a = 0，故a = - 4.]

5. 设函数 $f(x)=x^{2}+\ln(|x| + 1)$，则使得 $f(x)\gt f(2x - 1)$ 的 $x$ 的取值范围是 （ ）
A. $(-\infty,1)$
B. $(\frac{1}{3},+\infty)$
C. $(\frac{1}{3},1)$
D. $(-\infty,\frac{1}{3})\cup(1,+\infty)$

答案： C [函数f(x)=x² + ln(|x| + 1)的定义域为R，且f( - x)=( - x)² + ln(| - x| + 1)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，又因为当x＞0时，函数y = x²，y = ln(|x| + 1)单调递增，所以f(x)在( - ∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，因为f(x)＞f(2x - 1)，所以|x|＞|2x - 1|，即x²＞(2x - 1)²，整理，得3x² - 4x + 1＜0，解得$\frac{1}{3}$＜x＜1，所以x的取值范围为($\frac{1}{3}$，1). 故选C.]

6. 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$。当 $x\lt0$ 时，$f(x)=x^{3}-1$；当 $-1\leqslant x\leqslant1$ 时，$f(-x)=-f(x)$；当 $x\gt\frac{1}{2}$ 时，$f(x+\frac{1}{2})=f(x - \frac{1}{2})$，则 $f(6)= $ （ ）
A. $-2$
B. $-1$
C. $0$
D. $2$

答案： D [当x＞0时，x+$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{2}$，所以f(x+$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$)=f(x+$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$)，即f(x + 1)=f(x)，所以f
(6)=f
(5)=f
(4)=…=f
(1)= - f( - 1)=2. 故选D.]

7. 已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，若 $f(3)=0$ 且函数 $f(x + 1)$ 为偶函数，则不等式 $xf(x)\lt0$ 的解集为 （ ）
A. $(3,+\infty)$
B. $(-\infty,-1)\cup(0,3)$
C. $(-1,+\infty)$
D. $(-3,0)\cup(1,+\infty)$

答案： B [因为函数f(x + 1)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x = 1对称，因为函数f(x)在[1，+∞)上单调递增，所以函数f(x)在( - ∞，1]上单调递减，因为f
(3)=0，所以f( - 1)=0，所以由f(x)＜0可得 - 1＜x＜3，由f(x)＞0可得x＜ - 1或x＞3，解不等式xf(x)＜0，可得$\begin{cases}x＜0 \\ f(x)＞0\end{cases}$或$\begin{cases}x＞0 \\ f(x)＜0\end{cases}$，解得x＜ - 1或0＜x＜3，所以不等式xf(x)＜0的解集为( - ∞， - 1)∪(0，3).]