《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1. 抛物线$y = 4ax^{2}(a\neq0)$的焦点坐标是（ ）
A. $(0,a)$
B. $(a,0)$
C. $(0,\frac{1}{16a})$
D. $(\frac{1}{16a},0)$

答案： C　[将y=4ax²(a≠0)化为标准方程得x²=$\frac{1}{4a}$y(a≠0),所以焦点坐标为(0，,$\frac{1}{16a}$).故选C;

2. 顶点在坐标原点，准线为$y = - 2$的抛物线的方程为（ ）
A. $x^{2}=8y$
B. $x^{2}=4y$
C. $y^{2}=8x$
D. $y^{2}=4x$

答案： A　[顶点在坐标原点,准线为y=−2的抛物线的方程为x²=8y.故选A.]

3. 设圆$C$与圆$x^{2}+(y - 3)^{2}=1$外切，与直线$y = - 2$相切，则圆$C$的圆心的轨迹为（ ）
A. 抛物线
B. 双曲线
C. 椭圆
D. 圆

答案： A　[设圆心C的坐标为(x,y),圆C的半径为r,圆x²+(y−3)²=1的圆心为A,
∵圆C与圆x²+(y−3))²=1外切,与直线y=−2相切,
∴|CA|=r+1,C到直线y=−2的距离d=r,
∴|CA|=d+1,即动点C到定点A的距离等于到定直线y=−3的距离,由抛物线的定义知，圆C的圆心的轨迹为抛物线.故选A.]

4. 抛物线$C:y^{2}=16x$的焦点为$F$，点$M$在$C$上，$|MF| = 12$，则$M$到$y$轴的距离是（ ）
A. 4
B. 8
C. 10
D. 12

答案： B　[抛物线C:y²=16x的准线方程为x=−4,设M(x,y),由抛物线的定义知|MF|=12,即x。+4=12,解得x0=8,所以M到y轴的距离是8.故选B.]

5. 过抛物线$y^{2}=4x$的焦点$F$的直线交抛物线于$A$，$B$两点，若$|AF| = 3$，则$|BF|$的值为（ ）
A. $\frac{5}{2}$
B. 2
C. $\frac{3}{2}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： C　[如图所示,设∠AFx=0,0∈(0,π),|BF|=m,因为|AF|=3,所以点A到准线l:x=−1的距离为3,所以3=2+3cos9,解得cos9=$\frac{1}{3}$,因为m=2+mcos(π−0),所以m=2−mcos0,所以m=2−$\frac{1}{3}$m,解得m=$\frac{3}{2}$,所以|BF|的值为$\frac{3}{2}$.故选C.]

6. 若抛物线$y = 4x^{2}$上一点到直线$y = 4x - 5$的距离最短，则该点为（ ）
A. $(1,2)$
B. $(0,0)$
C. $(\frac{1}{2},1)$
D. $(1,4)$

答案： C[解法−:根据题意,直线y=4x−5必然与抛物线y=4.r²相离，抛物线上到直线的距离最短的点就是与直线y=4x−5 平行的抛物线的切线的切点.由y=8r=4得x=$\frac{1}{2}$,故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是($\frac{1}{2}$,1),该点到直线y=4x −5的距离最短.故选C.解法二:抛物线上的点(x,y)到直线y=4x−5的距离是d=⊥4x−$\sqrt{17}$y−5⊥_⊥4x−4$\sqrt{17}$x²−51=4(x−$\frac{1}{2}$$\sqrt{17}$)²+4,显然当x=$\frac{1}{2}$时,d取得最小值，此时y=1.故选C.]

7. 已知抛物线$C:y^{2}=2px(p\gt0)$的焦点为$F$，点$M$在$C$上，点$A(-\frac{p}{2},0)$，若$|AM|=\frac{\sqrt{5}}{2}|FM|$，则$\cos\angle MFA=$（ ）
A. $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\pm\frac{1}{2}$

答案： B　[由题意知点A为抛物线C的准线与x轴的交点,如图,过点M作MN垂直于准线于点N,令|FM|=2a,则|AM|=$\sqrt{5}$a,由抛物线的定义可得|MN|=|FM|=2a,所以cos∠AMN=$\frac{[MN|}{[AM}$=$\frac{2√5}{5}$,所以sin∠AMN=55.又MN//AF,所以∠MAF=∠AMN,所以sin∠MAF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$.在△AMF中,由正弦定理得|AM|sin∠MAF=|FM|sin∠MFA,所以sin∠MFA=Ays|FinM|MAF=a2×a=$\frac{1}{2}$,所以cosMFA=±$\sqrt{1−(\frac{1}{2})}$=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$.故选B.]

8.（多选）设抛物线$C:y^{2}=2px(p\gt0)$的焦点为$F$，准线为$l$，$A$为$C$上一点，以$F$为圆心，$|FA|$为半径的圆交$l$于$B$，$D$两点。若$\angle ABD = 90^{\circ}$，且$\triangle ABF$的面积为$9\sqrt{3}$，则下列说法正确的是（ ）
A. $\triangle ABF$是等边三角形 B. $|BF| = 3$
C. 点$F$到准线的距离为$3$ D. 抛物线$C$的方程为$y^{2}=6x$

答案： ACD[
∵以F为圆心,|FA|为半径的圆交I于B,D两点，∠ABD=90°,由抛物线的定义可得|AB|=|AF|=|BF|,
∴△ABF是等边三角形,
∴∠FBD=30°.
∵△ABF的面积为空1BF|²=9$\sqrt{3}$
∴|BF|=6.又点F到准线的距离为||BF|.sin30°=3=p,则该抛物线C的方程为y²=6x.故选ACD.]