《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

22.(12分)如图，在四边形OABC中，点O为平面直角坐标系的原点，A，B，C的坐标分别为(16，0)，(16，6)，(8，6)，点P，Q同时从原点出发，分别做匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位长度向终点A运动，点Q沿OC，CB以每秒2个单位长度向终点B运动. 当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动. 设运动时间为t s.
(1)请用t(t＞5)表示点Q的坐标为____________.
(2)是否存在某个时间，使得P，Q两点和四边形OABC中的任意两个顶点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

答案： [解]
(1)$(2t - 2,6)$
分析：过点$C$作$CD \perp OA$于点$D$(图略)，
∵$A$,$B$,$C$的坐标分别为$(16,0)$,$(16,6)$,$(8,6)$，
∴$OA = 16$，$OD = 8$，$CD = 6$，$BC = AD = OA - OD = 8$，$OA // BC$，
∴$OC = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$，
∴$OC + BC = 18$.
由题意得，$P$,$Q$两点的运动时间$= 18 \div 2 = 9$(s).
当$t ＞ 5$时，$2t ＞ 10$，此时点$Q$在$CB$上，则$CQ = 2t - 10$，
∴$CQ + 8 = 2t - 2$，
∴$Q(2t - 2,6)$.
(2)存在.分四种情况：
①当$P$,$Q$与$O$,$C$为顶点的四边形为平行四边形时，$OP = CQ$.
∵$OP = t$，$CQ = 2t - 10$，
∴$t = 2t - 10$，
解得$t = 10$，与$t \leq 9$矛盾(舍去)；
②当$P$,$Q$与$A$,$B$为顶点的四边形为平行四边形时，$PA = QB$，
∵$PA = 16 - t$，$QB = 18 - 2t$，
∴$16 - t = 18 - 2t$，解得$t = 2$，此时$Q$在$OC$上，矛盾(舍去)；
③当$P$,$Q$与$O$,$B$为顶点的四边形为平行四边形时，$OP = QB$，
∵$OP = t$，$QB = 18 - 2t$，
∴$t = 18 - 2t$，解得$t = 6$，符合题意；
④当$P$,$Q$与$C$,$A$为顶点的四边形为平行四边形时，$PA = CQ$，
∵$PA = 16 - t$，$CQ = 2t - 10$，
∴$16 - t = 2t - 10$，解得$t = \frac{26}{3}$，符合题意.综上，$t$的值为6或$\frac{26}{3}$.

23. 探究性问题(期末·22 - 23运城)(13分)综合与实践
问题情景：如图，在□ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，AD⊥BD，∠DBA = 30°，AD = 4，P为AB上一动点，连接PO并延长交CD于点Q.
独立思考：(1)当PQ⊥AB时，求∠DOP的度数.
实践探究：(2)当四边形APQD为平行四边形时，求AP的长.
问题解决：(3)当点O在BP的垂直平分线上时，直接写出AP的长.

答案： [解]
(1)
∵$OP \perp AB$，$\angle DBA = 30^{\circ}$，
∴$\angle OPB = 90^{\circ}$，
∴$\angle POB = 60^{\circ}$，
∴$\angle DOP = 180^{\circ} - \angle POB = 120^{\circ}$.
(2)
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB // CD$，$AB = CD$，
∴$\angle DBA = \angle BDC$.
∵$BD$,$AC$为对角线，
∴$DO = BO$.
∵$\angle DOQ = \angle BOP$，
∴$\triangle DOQ \cong \triangle BOP(ASA)$，
∴$DQ = PB$.
∵四边形$APQD$为平行四边形，
∴$AP = DQ$，
∴$AP = PB = \frac{1}{2}AB$.
∵$\angle DBA = 30^{\circ}$，$AD \perp BD$，$AD = 4$，
∴$AB = 2AD = 8$，
∴$AP = 4$.
(3)$AP = 2$.
分析：如图，连接$DP$,$BQ$，过点$O$作$AB$的垂线$EF$.
∵$DQ = BP$，$DQ // BP$，
∴四边形$DPBQ$为平行四边形.
∵$O$在线段$BP$的垂直平分线上，
∴$OP = OB$，
∴$BD = PQ$.
在$\triangle DPB$和$\triangle PDQ$中，$DP = DP$，$DB = PQ$，$PB = DQ$，
∴$\triangle DPB \cong \triangle PDQ(SAS)$，
∴$\angle DPB = \angle PDQ$.
又$\angle DPB + \angle PDQ = 180^{\circ}$，
∴$\angle DPB = \angle PDQ = 90^{\circ}$，
∴$EF = DP$.
∵$AD = 4$，$\angle DAB = 60^{\circ}$，
∴$\angle ADP = 30^{\circ}$，
∴$AP = 2$.