《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

1.(期中·23 - 24晋中太谷区)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则其顶角度数为__________.

答案：
42°或138°[解析]①如图①，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部.根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90° + 48° = 138°.
②如图②，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90° - 48° = 42°. 故答案为42°或138°.

2.(月考·22 - 23山西省实验)在Rt△ABC中,∠ABC = 90°,AB = 3,BC = 4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是__________.

答案：
3.6或4.32或4.8 [解析]在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 3，BC = 4，
∴AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$ = 5，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC = 6$.
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB = AP = 3时，如图①所示，$S_{等腰三角形ABP}=\frac{AP}{AC}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{3}{5}\times6 = 3.6$；
②当AB = BP = 3，且点P在AC上时，如图②所示，作△ABC的高BD，则BD = $\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{3\times4}{5}=2.4$，
∴AD = DP = $\sqrt{3^{2}-2.4^{2}} = 1.8$，
∴AP = 2AD = 3.6，
∴$S_{等腰三角形ABP}=\frac{AP}{AC}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{3.6}{5}\times6 = 4.32$；
③当CB = CP = 4时，如图③所示，$S_{等腰三角形BCP}=\frac{CP}{AC}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{4}{5}\times6 = 4.8$.
综上所述，等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8. 故答案为3.6或4.32或4.8.

3.探究性问题(月考·22 - 23太原五中)(1)操作实践:如图,在△ABC中,∠A = 90°,∠B = 22.5°,请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形,并标出分割成两个等腰三角形底角的度数.(要求用两种不同的分割方法)
(2)分类探究:在△ABC中,最小内角∠B = 24°,若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形,请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值.
(3)猜想发现:若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形,需满足什么条件? (请你至少写出两个条件,无需证明)

答案：
[解]
(1)如图①②所示.

(2)设分割线为AD，相应角的度数如图③④⑤⑥所示.

图③的最大角 = 39° + 78° = 117°，图④的最大角 = 24° + 84° = 108°，图⑤的最大角 = 24° + 66° = 90°，图⑥的最大角 = 84°，故△ABC的最大内角的可能值是117°或108°或90°或84°.
(3)若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一：①该三角形是直角三角形；②该三角形有一个角是最小角的2倍；③该三角形有一个角是其中一个角的3倍.