《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

10.(期中·23 - 24大同)如图,在等腰△ABC中,AB = AC,∠A = 20°.AB上一点D,使AD = BC,过点D作DE//BC且DE = AB,连接EC,DC,则∠DCE =________.

答案：
70° [解析]如图所示，连接AE，
∵DE//BC，
∴∠ADE = ∠B.
∵AB = AC，∠BAC = 20°，
∴∠ADE = ∠B = ∠ACB = 80°.
在△ADE与△CBA中，AD = CB，∠ADE = ∠B，DE = BA，
∴△ADE≌△CBA(SAS)，
∴AE = AC = AB = DE，∠DAE = ∠ACB = 80°，∠AED = ∠BAC = 20°.
∵∠CAE = ∠DAE - ∠BAC = 80° - 20° = 60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE = AC = AE = DE，∠AEC = ∠ACE = 60°，
∴△DCE是等腰三角形，
∴∠CDE = ∠DCE.
∵∠DEC = ∠AEC - ∠AED = 40°，
∴∠DCE = ∠CDE = (180 - 40°)÷2 = 70°. 故答案为70°.

11.(期中·23 - 24山西省实验)如图,在△ABC中,点D在边AC上,CD = BD且∠C = 2∠ABD,AE⊥BD,交BD的延长线于点E.若BE = 8,AC = 11,则边AB的长为________.

答案： $4\sqrt{5}$ [解析]如图，延长BE到点F，使得EF = BE，连接AF.
∵AE⊥BD，
∴△BAF是等腰三角形，
∴AB = AF，∠F = ∠ABD，BE = EF = 8.
∵CD = BD，
∴∠CBD = ∠C = 2∠ABD.
过点A作AH//BC，交BF于点H，
∴∠C = ∠DAH，∠CBD = ∠AHD = 2∠ABD = 2∠F，
∴∠AHD = ∠DAH，∠F = ∠HAF，
∴DH = DA，HF = HA.
∵CD = BD，
∴AC = BH，
∴EH = BH - BE = AC - BE = 11 - 8 = 3，
∴HF = HA = EF - EH = 8 - 3 = 5.
在Rt△AEH中，由勾股定理得AE = $\sqrt{AH^{2}-EH^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$，在Rt△AEB中，由勾股定理得AB = $\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=4\sqrt{5}$. 故答案为$4\sqrt{5}$.

12.(期中·22 - 23山西省实验)如图,在△ABC中,AB = AC = 5,BC = 6.若点P在边AC上移动,则BP的最小值是( )


A.$\frac{12}{5}$
B.$\frac{24}{5}$
C.5
D.$\frac{48}{5}$

答案：
B [解析]如图，作AD⊥BC于点D.
∵AB = AC = 5，BC = 6，
∴BD = CD = 3，AD = $\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$.
根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP最小. 由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}AC\cdot BP$，得6×4 = 5×BP，解得BP = $\frac{24}{5}$，即线段BP的最小值是$\frac{24}{5}$. 故选B.

13.如图,点P在∠AOB的平分线上,∠AOB = 60°,PD⊥OA于点D,点M在OP上,且DM = MP = 6,若C是OB上的动点,则PC的最小值是________.

答案： 6 [解析]
∵P是∠AOB平分线上的一点，∠AOB = 60°，
∴∠AOP = $\frac{1}{2}∠AOB = 30°$.
又PD⊥OA，
∴∠ODP = 90°，
∴∠DPO = 60°.
∵PM = DM = 6，
∴∠MDP = ∠DPM = 60°，
∴△DPM为等边三角形，
∴PD = DM = MP = 6.
∵点C是OB上的一个动点，
∴PC的最小值为点P到OB的距离，
∴PC的最小值 = PD = 6. 故答案为6.

14.(月考·22 - 23太原五中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠ABC = 30°,AC = 6,D是线段AB上一个动点,以BD为边在△ABC外作等边△BDE.若F是DE的中点,当CF取最小值时,△BDE的周长为________.

答案：
18 [解析]如图，连接BF.
∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，
∴∠DBF = $\frac{1}{2}∠DBE = 30°$.
又
∵∠ABC = 30°，
∴∠CBF = 60°，
即线段BF的位置是固定的，
∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC = 90°，∠BCF = 180° - 90° - 60° = 30°，
∴BF = $\frac{1}{2}BC$.
∵在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，AC = 6，
∴AB = 2AC = 12，BC = $\sqrt{12^{2}-6^{2}}=6\sqrt{3}$，
∴BF = $3\sqrt{3}$.
设BD = 2x，则DF = x，
∴BD² = DF² + BF²，
即(2x)² = x² + ($3\sqrt{3}$)²，解得x = 3，
∴BD = 6，
∴△BDE的周长为18. 故答案为18.