《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

11.如图，在Rt△ABC中，CA = CB = 2，M为CA的中点，在
AB上存在一点P，连接PC，PM，试求△PMC周长的最小值.

答案： 【解】如图，作点$C$关于直线$AB$的对称点$D$，连接$DM$交$AB$于点$P$，此时$\triangle PCM$的周长最小，连接$AD$，则$AD = AC = 2$. $\because CA = CB,\angle ACB = 90^{\circ},\therefore \angle BAC=\angle B=\angle BAD = 45^{\circ}$. 在$\triangle ADM$中，$\because \angle DAM = 90^{\circ},AD = 2,AM = 1$，$\therefore DM=\sqrt{AD^{2}+AM^{2}}=\sqrt{5}$，此时$\triangle PCM$的周长为$PC + PM+CM = PD+PM+CM = DM+CM=\sqrt{5}+1$.

12.(月考·22 - 23太原五中)如图，在△ABC中，DE垂直平分
BC，分别交BC，AB于点D，E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于点F，若BE = AC，∠ACE = 20°，则∠EFB的度数为(　　　)
　
A. 56°　　　　B. 58°　　　　　C. 60°　　　　　D. 63°
　　　

答案： C【解析】$\because DE$垂直平分$BC,\therefore BE = CE,\therefore \angle EBC=\angle ECB$. $\because BE = AC,\therefore AC = EC,\therefore \angle A=\angle AEC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ACE)=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-20^{\circ})=80^{\circ}$. $\because \angle AEC=\angle EBC+\angle ECB$，$\therefore \angle EBC=\angle ECB=\frac{1}{2}\angle AEC = 40^{\circ}$. $\because BF$平分$\angle ABC,\therefore \angle CBF=\frac{1}{2}\angle EBC = 20^{\circ}$，$\therefore \angle EFB=\angle CBF+\angle ECB = 20^{\circ}+40^{\circ}=60^{\circ}$. 故选 C.

13.(月考·21 - 22山西省实验)如图，点P是∠AOB内的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接OP，CD.若PC =
　PD，则下列结论不一定成立的是(　　　)
　
A. ∠AOP = ∠BOP　　　　　　B. ∠OPC = ∠OPD
　
C. PO垂直平分CD　　　　　D. PD = CD
　　　

答案： D【解析】$\because PC\perp OA$于点$C,PD\perp OB$于点$D,PC = PD$，$\therefore$点$P$在$\angle AOB$的平分线上，即$OP$平分$\angle AOB$，$\therefore \angle AOP=\angle BOP$，故 A 选项正确. $\because \angle PCO=\angle PDO = 90^{\circ},\angle AOP=\angle BOP$，$\therefore \angle OPC=\angle OPD$，故 B 选项正确. $\because PC\perp OA,PD\perp OB,\therefore \angle PCO=\angle PDO$. 又$\angle OPC=\angle OPD,PO = PO,\therefore \triangle PCO\cong\triangle PDO$，$\therefore OC = OD,\therefore$点$O$在$CD$的垂直平分线上. 又$\because PC = PD,\therefore$点$P$在$CD$的垂直平分线上，$\therefore PO$垂直平分$CD$，故 C 选项正确. $\because \angle PDC$的度数不一定是$60^{\circ}$，$\therefore \triangle CDP$不一定是等边三角形，$\therefore PD = CD$不一定成立，故 D 选项错误. 故选 D.

14.(期中·23 - 24太原)如图，在△ABC中，∠B = 80°，点D在△ABC内部，且到三边的距离相等，则∠ADC = ______°.
　　　　　　　　

答案： 130【解析】$\because$点$D$在$\triangle ABC$内部，且到三边的距离相等，$\therefore AD$平分$\angle BAC,CD$平分$\angle ACB$，$\therefore \angle DAC=\frac{1}{2}\angle BAC,\angle DCA=\frac{1}{2}\angle ACB$. $\because \angle ADC = 180^{\circ}-\angle DAC-\angle DCA$，$\therefore \angle ADC = 180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ACB)$. $\because \angle BAC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle B$，$\therefore \angle ADC = 180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B$. $\because \angle B = 80^{\circ},\therefore \angle ADC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\times80^{\circ}=130^{\circ}$. 故答案为 130.