《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

19.(期中·22 - 23运城实验中学)(8分)如图,AD是△ABC的高,AD = BD,E是AD上的一点,AC = BE,BE的延长线交AC于点F.
(1)求证:△BDE≌△ADC.
(2)若AD = BD = 8,AC = BE = 10,则EF的长为______.
　　　　

答案：
(1)【证明】
∵$AD$是$\triangle ABC$的高，
∴$AD\perp BC$，
∴$\angle BDE=\angle ADC = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle ADC$中，$BE = AC$，$BD = AD$，
∴$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle ADC(HL)$.
(2)【解】$\frac{6}{5}$
分析：由
(1)知$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle ADC$，
∴$\angle BED=\angle ACD$，$DE = DC$.
∵$BD = 8$，$BE = 10$，$\angle BDE = 90^{\circ}$，
∴$DE = 6$，
∴$BC = BD + CD = BD + DE = 8 + 6 = 14$.
∵$\angle BED=\angle AEF$，
∴$\angle ACD=\angle AEF$.
∵$\angle ADC = 90^{\circ}$，
∴$\angle DAC+\angle ACD = 90^{\circ}$，
∴$\angle DAC+\angle AEF = 90^{\circ}$，
∴$BF\perp AC$，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BF=\frac{1}{2}BC\cdot AD$，即$AC\cdot BF = BC\cdot AD$，
∴$10\times BF = 14\times8$，解得$BF=\frac{56}{5}$，
∴$EF = BF - BE=\frac{56}{5}-10=\frac{6}{5}$.

20.(8分)请仔细阅读材料,并完成相应任务.
好学善思的小明和小亮同学阅读数学课外书时,看到这样一道题:
解关于x的不等式:$\frac{x + 1}{3x - 2}＞0$.
两位同学认为这道题虽然没学过,但是可以用已学的知识解决.
小明的方法:
根据“两数相除,同号得正”,可以将原不等式转化为\begin{cases}x + 1＞0, \\3x - 2＞0\end{cases}或\begin{cases}x + 1＜0, \\3x - 2＜0,\end{cases}
解得……
小亮的方法:
将原不等式两边同时乘(3x - 2),得x + 1＞0,
解得……
任务一:你认为小明和小亮的方法正确吗? 若正确,请补充完整解题过程;若不正确,请说明理由.
任务二:请尝试利用已学知识解关于x的不等式:$\frac{x - 2}{x + 3}＜2$.

答案： 【解】任务一：小明的方法正确. 补全的解题过程如下：
根据“两数相除，同号得正”，可以将原不等式转化为$\begin{cases}x + 1＞0,\\3x - 2＞0,\end{cases}$
或$\begin{cases}x + 1＜0,\\3x - 2＜0,\end{cases}$解得$x＞\frac{2}{3}$或$x＜-1$.
小亮的方法错误. 理由：不符合不等式的基本性质.
任务二：$\frac{x - 2}{x + 3}＜2$，整理得$\frac{x - 2}{x + 3}-2＜0$，即$\frac{x + 8}{x + 3}＞0$，
根据“两数相除，同号得正”，可以将原不等式转化为$\begin{cases}x + 8＞0,\\x + 3＞0\end{cases}$
或$\begin{cases}x + 8＜0,\\x + 3＜0,\end{cases}$解得$x＞-3$或$x＜-8$.