《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

21. 数学归纳(10分)通过观察，发现方程：
$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解为$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{1}{2}$；$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解为$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{1}{3}$；$x+\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$的解为$x_{1}=4$，$x_{2}=\frac{1}{4}$.
(1)猜想关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=5+\frac{1}{5}$的解是______.
(2)猜想关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=a+\frac{1}{a}$的解是______.
(3)用上述方法求关于$x$的方程$\frac{x^{2}+x + 1}{x + 1}=a+\frac{1}{a + 1}$的解.

答案：
(1)$x_{1}=5$，$x_{2}=\frac{1}{5}$
(2)$x_{1}=a$，$x_{2}=\frac{1}{a}$
(3)关于$x$的方程$\frac{x²+x+1}{x+1}=a+\frac{1}{a+1}$可化为$x + 1+\frac{1}{x + 1}=a + 1+\frac{1}{a + 1}$，
∴$x + 1=a + 1$或$x + 1=\frac{1}{a + 1}$，
∴$x=a$，$x=\frac{-a}{a + 1}$.