《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

22.(期中.23−24晋中榆次区)(12分)综合与实践
　　问题情境:
　　如图①,△ABC为等边三角形.在直角三角尺DEF中,∠DEF=90°,∠EDF=60°,将三角尺的顶点D放在△ABC的边BC上,并将三角尺绕点D旋转,使得三角尺的两边DF,DE分别与边
AB,AC交于点M,N.
　　探究发现:
　(1)勤学小组的同学发现在三角尺绕点D旋转的过程中,∠BDM与∠DNC始终相等,，请你证明这一结论.
　(2)如图②,连接MN,在三角尺绕点D旋转的过程中,当BM=CD时,试判断△DMN的形状,并说明理由.
　　深入探究:
　(3)如图③,善思小组的同学在图②的基础上,将△BDM沿射线BC的方向平移,使点B的对应点恰好
与点C重合,得到△CD'Mr,连接DM.如果AB=8,BD=5,请直接写出线段DM的长.

答案：

(1)【证明】
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B =∠C = 60°,
∴在△CDN中,∠DNC = 180° - ∠C - ∠NDC = 120° - ∠NDC.
又
∵∠BDM+∠NDC+∠EDF = 180°,
∴∠BDM = 180° - ∠EDF - ∠NDC = 120° - ∠NDC,
∴∠BDM =∠DNC.
(2)【解】△DMN是等边三角形.
理由如下:
由
(1)得∠BDM =∠DNC,∠B =∠C,
又
∵BM = CD,
∴△BDM≌△CND(AAS),
∴DM = DN.
∵∠EDF = 60°,
∴△DMN是等边三角形.
(3)【解】3$\sqrt{3}$.
分析:如图所示,设AC与DM'交于点P. 由
(2)知BM = CD,
在等边三角形ABC中,∠B =∠ACB = 60°,AB = BC = AC,
∵将△BDM沿射线BC的方向平移,使点B的对应点恰好与点C重合,得到△CD'M',
∴BM = CM',∠M'CD'=∠B = 60°.
∵AB = 8,BD = 5,
∴DC = BC - BD = 8 - 5 = 3.
∵∠ACB = 60°=∠M'CD',
∴∠ACM' = 60°,即CA平分∠DCM'.
∵BM = CD = CM',
∴CP⊥DM',DP = PM'=$\frac{1}{2}DM'$.
　　　　　
在Rt△DCP中,DC = 3,∠ACB = 60°,则∠PDC = 30°,
∴PC=$\frac{1}{2}DC=\frac{3}{2}$,
则由勾股定理可得PD=$\sqrt{DC^{2}-PC^{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴DM' = 2DP = 3$\sqrt{3}$.