《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

24.(期中·23 - 24大同)如图，将△OAB绕着点O逆时针旋转至△OA'B'，使点B恰好落在线段A'B'上.若∠AOA' = 32°，则∠B'的度数为(　　　)
　　
A. 58°　　　　B. 64°　　　　　C. 74°　　　　　D. 78°
　　

答案： C【解析】由旋转的性质，得$OB = OB',\angle AOA'=\angle BOB'$. $\because \angle AOA' = 32^{\circ},\therefore \angle AOA'=\angle BOB' = 32^{\circ}$. $\because OB = OB',\therefore \angle B'=\angle OBB' = 74^{\circ}$. 故选 C.

25.(期末·22 - 23运城)如图，在等腰三角形ABC中，AB = BC = 2，∠ABC = 120°，将其绕点C旋转180°得到等腰三角形
A'B'C，则底边AC在旋转过程中扫过的面积为______.

答案：
$6\pi$【解析】如图，过点$B$作$BH\perp AC$于点$H$. $\because AB = BC = 2,BH\perp AC,\angle ABC = 120^{\circ}$，$\therefore AH = CH,\angle BAC=\angle BCH = 30^{\circ},\therefore BH=\frac{1}{2}AB = 1$，$\therefore AH = CH=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$，$\therefore AC = 2AH = 2\sqrt{3}$，$\therefore$底边$AC$在旋转过程中扫过的面积$=\frac{\pi\times(2\sqrt{3})^{2}}{2}=6\pi$. 故答案为$6\pi$.

26.(期末·22 - 23运城盐湖区)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2)，B(0,4)，C(0,2).
　(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A₁B₁C；平移△ABC，若点A的对应点为点C，画出平移后对应的△CB₂C₁.
　(2)若将△A₁B₁C绕某一点旋转可以得到△CB₂C₁，请直接写出旋转中心的坐标.
　(3)在x轴上有一点P，使得PA + PB的值最小，请直接写出点P的坐标.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
【解】
(1)如图所示，$\triangle A_{1}B_{1}C$和$\triangle CB_{2}C_{1}$即所求.

(2)$(\frac{3}{2},2)$.
分析：连接$B_{1}B_{2}$，直线$B_{1}B_{2}$与直线$CA_{1}$相交，交点即所求. 设直线$B_{1}B_{2}$的表达式为$y = kx(k\neq0)$，将点$B_{2}(3,4)$的坐标代入，得$4 = 3k,\therefore k=\frac{4}{3},\therefore y=\frac{4}{3}x$.$\because$直线$CA_{1}:y = 2$，$\therefore \frac{4}{3}x = 2,\therefore x=\frac{3}{2},\therefore$交点坐标为$(\frac{3}{2},2),\therefore$旋转中心的坐标为$(\frac{3}{2},2)$.
(3)$P(-2,0)$.
分析：作点$A$关于$x$轴的对称点$A'$，连接$A'B$交$x$轴于点$P$，则点$P$即所求点.$\because A(-3,2),\therefore A'(-3,-2)$. 设直线$A'B$的表达式为$y = mx + n(m\neq0)$. 将点$A'(-3,-2)$，$B(0,4)$的坐标代入，得$\begin{cases}-3m + n=-2\\n = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 2\\n = 4\end{cases}$，$\therefore$直线$A'B$的表达式为$y = 2x + 4$. 当$y = 0$时，$x=-2,\therefore P(-2,0)$.