《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

24. 新定义问题 对于实数$a$，$b$，定义一种新运算“$\otimes$”:$a\otimes b=\frac{1}{3a - b^{2}}$. 例如:$1\otimes3=\frac{1}{3\times1 - 3^{2}}=-\frac{1}{6}$. 则方程$x\otimes(-2)=\frac{2}{4 - 3x}-1$的解是( )
A. $x=\frac{1}{3}$
B. $x=-\frac{1}{3}$
C. $x=\frac{5}{3}$
D. $x=-\frac{7}{3}$

答案： A[解析]由题意，得$\frac{1}{3x - (- 2)^{2}}=\frac{2}{4 - 3x}-1$，
　　即$\frac{1}{3x - 4}=-\frac{2}{3x - 4}-1$。
　　去分母，得$1 = - 2-(3x - 4)$。去括号，得$1 = - 2 - 3x + 4$。
　　移项、合并同类项，得$3x = 1$。系数化为$1$，得$x=\frac{1}{3}$。
　　经检验，$x=\frac{1}{3}$是分式方程的解。故选A。

25. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“?”看不清楚:$\frac{?}{x - 2}+3=\frac{1}{2 - x}$. 小华的妈妈说:“我看到标准答案是:方程的增根是$x = 2$，原分式方程无解.”请你求出原分式方程中“?”代表的数是________.

答案： $- 1$　[解析]设“？”为$m$，方程两边同时乘$x - 2$，得$m + 3(x - 2)= - 1$。由于$x = 2$是原分式方程的增根，所以把$x = 2$代入上面的等式得$m + 3×(2 - 2)= - 1$，$m = - 1$，所以，原分式方程中“？”代表的数是$- 1$。故答案为$- 1$。

26. (月考·23 - 24山西省实验)解方程: (1) $\frac{2x}{x - 2}=1+\frac{1}{2 - x}$.
(2) $\frac{3}{x}+\frac{6}{x - 1}=\frac{x + 5}{x^{2}-x}$.

答案： [解]
(1)去分母，得$2x = x - 2 - 1$。
　　移项、合并同类项，得$x = - 3$。
　　检验：把$x = - 3$代入得$x - 2\neq0$，
　　所以分式方程的解为$x = - 3$。
(2)去分母，得$3(x - 1)+6x = x + 5$，
　　去括号，得$3x - 3 + 6x = x + 5$，
　　移项、合并同类项，得$8x = 8$，
　　解得$x = 1$。
　　检验：把$x = 1$代入得$x(x - 1)=0$，
　　所以分式方程无解。

27. (期末·22 - 23运城)近年来山西各地街头出现了快递机器人的身影，可爱的造型，便捷的工作方式，深受人们喜爱. 某快递公司有$A$，$B$两种型号的快递机器人，$A$型号快递机器人每次运送包裹的数量比$B$型号的多10个，$B$型号机器人运送400个包裹的次数是$A$型号机器人运送次数的2倍，求$A$型号机器人每次运送包裹的数量.

答案： [解]设A型号机器人每次运送包裹的数量为$x$，则B型号机器人每次运送包裹的数量为$x - 10$。
　　由题意，得$\frac{400}{x - 10}=\frac{400}{x}×2$，解得$x = 20$，
　　经检验，$x = 20$是原方程的解，且符合题意。
　　答：A型号机器人每次运送包裹的数量为$20$。

28. (期末·23 - 24阳泉)下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解方程:$\frac{x - 6}{x^{2}-9}-2=\frac{2x}{3 - x}$.
方程两边同乘________，得$x - 6-2(x^{2}-9)=-2x(x + 3)$.
……………………………………………………………………第一步
去括号，得$x - 6-2x^{2}+18=-2x^{2}-6x$. ……………………第二步
移项、合并同类项，得$7x=-12$. …………………………第三步
系数化为1，得$x=-\frac{12}{7}$. ………………………………第四步
所以$x=-\frac{12}{7}$是原方程的解. …………………………第五步
(1) 任务一:第一步横线处所填的内容为________，这一步的依据为________________________.
(2) 任务二:在小组组长的引导下，小颖反思上述解答过程缺少了一步，请你补全这一步.
(3) 任务三:在解分式方程的过程中，需要注意哪些事项，请你写出一条，并与同学们分享.

答案： [解]
(1)$x^{2}-9$　等式的基本性质
(2)检验：把$x = -\frac{12}{7}$代入得$(x + 3)(x - 3)\neq0$。
(3)在解分式方程的过程中，需要注意：解方程的最后一定要检验未知数的值是不是分式方程的解(答案不唯一)。

29. 情境题(月考·22 - 23山西省实验)开学初，学校从某商场购买了$A$，$B$两种品牌的足球，购买$A$品牌足球花费了2500元，购买$B$品牌足球花费了2000元，且购买$A$品牌足球数量是购买$B$品牌足球数量的2倍，已知购买一个$B$品牌足球比购买一个$A$品牌的足球多花30元.
(1) 求购买一个$A$品牌、一个$B$品牌的足球各需多少元.
(2) 另一所学校计划购进$A$，$B$两种品牌的足球共50个. 恰逢这个商场对两种品牌足球的售价进行调整，$A$品牌足球售价比开学初购买时提高了8%，$B$品牌足球按开学初购买时售价的9折出售. 如果这所学校此次购买$A$，$B$两种品牌足球的总费用不超过3312元，那么该学校此次最多可购买多少个$B$品牌足球?

答案： [解]
(1)设购买一个A品牌足球需$x$元，则购买一个B品牌足球需$(x + 30)$元。
　由题意得$\frac{2500}{x}=\frac{2000}{x + 30}×2$，解得$x = 50$，
　经检验，$x = 50$是原方程的解，且符合实际意义，$x + 30 = 80$。答：购买一个A品牌足球需$50$元，购买一个B品牌足球需$80$元。
(2)设该学校此次可购买$a$个B品牌足球，则购买A品牌足球$(50 - a)$个。由题意得$50×(1 + 8\%)(50 - a)+80×0.9a≤3312$，解得$a≤34$。
　$\because a$是整数，$\therefore a$的最大值为$34$。
　答：该学校此次最多可购买$34$个B品牌足球。