《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

23.探究性问题 (期中·22 - 23太原改编)(13分)综合与实践——探索图形平移中的数学问题
问题情境:如图①,已知△ABC是等边三角形,AB = 6,点D是AC边的中点,以AD为边,在△ABC外部作等边三角形ADE.
操作探究:将△ADE从图①的位置开始,沿射线AC方向平移,点A,D,E的对应点分别为点A',D',E'.
(1)如图②,善思小组的同学画出了BA' = BD'时的情形,求此时△ADE平移的距离.
(2)如图③,点F是BC的中点,在△ADE平移过程中,连接E'F交射线AC于点O,敏学小组的同学发现OE' = OF始终成立.请你证明这一结论.
拓展延伸:(3)在△ADE平移的过程中,直接写出以F,D',E'为顶点的三角形为直角三角形时,△ADE平移的距离.

答案：

(1)[解]
∵△ABC是等边三角形,AB=6,
　
∴∠BAC=∠BCA,AC=AB=BC=6.
　
∵BA'=BD',
∴∠BA'D'=∠BD'A'.
　
∵∠BA'D'+∠BA'A=∠BD'A'+∠BD'C=180°,
　
∴∠BA'A=∠BD'C,
∴△BA'A≌△BD'C(AAS),
　
∴AA'=CD'.
　
∵点D是AC边的中点,
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=3.
　
∵△ADE沿射线AC方向平移得到△A'D'E',
　
∴A'D'=AD=3,
∴AA'=CD'=$\frac{1}{2}$(AC−A'D')=1.5,
　
∴此时平移的距离为1.5.
(2)[证明]
∵△ABC与△ADE是等边三角形,
　
∴∠DAE=∠BCA=60°,AE=AD.
　　由
(1)得AD=$\frac{1}{2}$AC,AC=BC,
　
∵点F是BC边的中点,
∴CF=$\frac{1}{2}$BC=AD=AE.
　
∵△ADE沿射线AC的方向平移得到△A'D'E',
　
∴A'E'=AE=CF,∠D'A'E'=∠DAE=∠BCA.
　
∵∠E'OA'=∠FOC,
∴△E'OA'≌△FOC(AAS),
　
∴OE'=OF.
(3)[解]6或12.
　　分析:当A'与C重合时,如图①.
　　　　　　　　　　　　　
　
∵△A'D'E'是等边三角形,
　
∴∠E'A'D'=∠A'D'E'=∠E'=60°.
　
∵A'F=A'D'=3,
　
∴∠A'FD'=∠A'D'F=30°,
　
∴∠FD'E'=∠A'D'F+∠A'D'E'=90°,
　　即以F,D',E'为顶点的三角形为直角三角形,
　　此时DD'=CD+A'D'=3+3=6,
∴△ADE平移的距离是6.
　　当∠D'E'F=90°时,如图②,
　　　　　　　　
　
∵∠A'E'D'=60°=∠E'A'D',
　
∴∠A'E'O=∠D'E'F−∠A'E'D'=30°,
　
∴∠A'OE'=∠D'A'E'−∠A'E'O=30°,
　
∴∠A'E'O=∠A'OE',
　
∴A'O=A'E'=3,
　　易证△A'OE'≌△COF,
　
∴CO=A'O=3,
　
∴DD'=CD+CO+A'O+A'D'=3+3+3+3=12,
　
∴△ADE平移的距离是12.
　　综上所述,以F,D',E'为顶点的三角形为直角三角形时,△ADE 平移的距离是6或12.