《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

4.如图,在4×4的正方形网格中,每一格长度为1,小正方形的顶点称为格点,A,B,C,D,E,F都在格点上,以AB,CD,EF为边能构成一个直角三角形,则点F的位置有( )


A.1处
B.2处
C.3处
D.4处

答案：
D [解析]由题意可得，CD = 2，AB = $\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$.
∵以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，
∴AB² + CD² = EF²或CD² + EF² = AB²，即13 + 4 = EF²或4 + EF² = 13，解得EF = $\sqrt{17}$或3，
∴点F的位置如图所示. 故选D.

5.(期中·22 - 23山大附中)如图,在△ABC中,AC = BC = 13,AB = 24,D是AB边上的一个动点,点E与点A关于直线CD对称,当△ADE为直角三角形时,AD的长为________.

答案：
7或17 [解析]如图，过点C作CF⊥AB于点F.
∵在△ABC中，AC = BC = 13，AB = 24，
∴AF = 12，
∴CF = $\sqrt{AC^{2}-AF^{2}} = 5$.
①如图①，当点D在AF上时，
∵∠ADE = 90°，
∴∠ADC = ∠EDC = (360° - 90°)÷2 = 135°，
∴∠CDF = 45°，
∴CF = DF，
∴AD = AF - DF = AF - CF = 12 - 5 = 7.
②如图②，当点D在BF上时，
∵∠ADE = 90°，
∴∠CDF = 45°，
∴CF = DF，
∴AD = AF + DF = AF + CF = 12 + 5 = 17.
故答案为7或17.

6.(期中·23 - 24晋中榆次区)如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,AB = 5,BC = 4,动点P在射线BC上移动,连接AP.如果∠APC = 2∠B,那么线段BP的长为__________.

答案：
$\frac{25}{8}$或$\frac{39}{8}$ [解析]
∵∠ACB = 90°，AB = 5，BC = 4，
∴AC = $\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$.
分两种情况：①当点P在线段BC上时，如图①.
∵∠APC = ∠B + ∠PAB，∠APC = 2∠B，
∴∠B = ∠PAB，
∴PA = PB.
设PC = x，则PA = PB = 4 - x.
在Rt△APC中，由勾股定理得x² + 3² = (4 - x)²，
解得x = $\frac{7}{8}$，
∴PC = $\frac{7}{8}$，
∴BP = BC - PC = 4 - $\frac{7}{8}=\frac{25}{8}$.
②当点P在线段BC的延长线上时，如图②.
易知PC = $\frac{7}{8}$，
∴BP = BC + PC = 4 + $\frac{7}{8}=\frac{39}{8}$.
综上所述，线段BP的长为$\frac{25}{8}$或$\frac{39}{8}$. 故答案为$\frac{25}{8}$或$\frac{39}{8}$.

7.(期末·22 - 23吕梁离石区)如图所示的网格是正方形网格,点A,B,P是网格线交点,则∠PAB+∠PBA的度数是( )


A.60°
B.30°
C.75°
D.45°

答案：
D [解析]如图，延长AP交格点于点D，连接BD，则PD² = BD² = 1² + 2² = 5，PB² = 1² + 3² = 10，
∴PD² + DB² = PB²，
∴∠PDB = 90°，
∴∠DPB = ∠PAB + ∠PBA = 45°. 故选D.

8.(期中·21 - 22运城三校联考)如图,在△ABC中,AB = AC,AD平分∠BAC交BC于点D,点E在△ABC内部,点P在AD上,∠EBC = ∠BEP = 60°,若BE = 6,EP = 2,则BC =________.

答案：
8 [解析]如图，延长EP交BC于点Q.
∵AB = AC，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴AD⊥BC，BD = CD.
∵∠EBC = ∠BEP = 60°，
∴△BEQ为等边三角形，
∴∠BQE = 60°，BQ = EQ = BE = 6.
∵PE = 2，
∴PQ = 4.
在Rt△DPQ中，
∵∠PQD = 60°，
∴DQ = $\frac{1}{2}PQ = 2$，
∴BD = BQ - DQ = 4，
∴BC = 2BD = 8.
故答案为8.

9.(期中·22 - 23晋中)如图,在△ABC中,D为边AC上一点,且BD平分∠ABC,过点A作AE⊥BD于点E.若∠ABC = 64°,∠C = 29°,AB = 4,BC = 10,则AE =________.

答案：
3 [解析]如图，延长AE交BC于点F.
∵BD平分∠ABC，AE⊥BD，
∴AE = EF，AB = BF = 4，
∴∠BAF = ∠BFA = $\frac{1}{2}\times(180° - 64°)$ = 58°.
∵∠C = 29°，
∴∠CAF = ∠AFB - ∠C = 29°，
∴∠CAF = ∠C，
∴AF = CF.
∵BC = 10，
∴CF = BC - BF = 6，
∴AF = 6，
∴AE = 3.
故答案为3.