《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

12. 在平面直角坐标系中，已知A(0，4)，直线l的解析式为y = 2x - 2，B，C是直线l上的两个动点，若在坐标轴上存在点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的D点坐标中，错误的是( )
A. (-2，0)
B. (4，0)
C. (0，-8)
D. (0，-6)

答案： D[解析]分情况讨论:
①AD为边时，AD//BC，直线AD的解析式为y = 2x + 4。令y = 0，则2x + 4 = 0，解得x = - 2，故点D的坐标为(-2,0)。
②AD为对角线时，
∵B，C是直线l上的两个动点，且BC的中点也为AD的中点，
∴AD的中点落在直线l上，设D(2m,0)或(0,2n)。
∵A(0,4)，
∴AD的中点坐标为(m,2)或(0,n + 2)，分别代入y = 2x - 2，可得2 = 2m - 2或n + 2 = 2×0 - 2，
∴m = 2，n = - 4，
∴点D的坐标为(4,0)或(0,-8)。
综上可知，点D的坐标可以为(-2,0)或(4,0)或(0,-8)。故选D。

13. 探究性问题(期末·23 - 24运城盐湖区)综合与探究
已知Rt△ABO在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中边OA在x轴上且OA = 4，边OB在y轴上，且OB = 3，AD平分∠OAB，交y轴于点D.
(1)请直接写出点A，B的坐标：A________，B________.
(2)求点D的坐标.
(3)在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使A，D，B，Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
[解]
(1)(4,0)(0,3)
(2)
∵OA = 4，OB = 3，∠AOB = 90°，
∴AB = $\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}$ = 5。如图①，过D作DE⊥AB于E。
∵AD平分∠OAB，
∴OD = DE。
∵S△AOB = $\frac{1}{2}$OA·OB = $\frac{1}{2}$×3×4 = 6，S△AOB = S△AOD + S△ABD = $\frac{1}{2}$OA·OD + $\frac{1}{2}$AB·DE = $\frac{1}{2}$×4OD + $\frac{1}{2}$×5OD = $\frac{9}{2}$OD，
∴$\frac{9}{2}$OD = 6，
∴OD = $\frac{4}{3}$，
∴D(0,$\frac{4}{3}$)。
(3)存在。点Q的坐标为Q1(4,$\frac{5}{3}$)，Q2(4,-$\frac{5}{3}$)，Q3(-4,$\frac{13}{3}$)。
分析:由
(2)可得，OD = $\frac{4}{3}$，
∴BD = 3 - $\frac{4}{3}$ = $\frac{5}{3}$。
如图②，当点Q在第一象限时，若四边形BDAQ为平行四边形，则AQ = BD，AQ//BD，
∴此时点Q的坐标为Q1(4,$\frac{5}{3}$)。
如图③，当点Q在第四象限时，若四边形BDQA为平行四边形，则AQ = BD，AQ//BD，
∴此时点Q的坐标为Q2(4,-$\frac{5}{3}$)。
如图④，当点Q在第二象限时，若四边形ADQB为平行四边形，过Q作QP⊥y轴于P，QB = AD，QB//AD，则∠QPB = ∠AOD = 90°，QB = AD，QB//AD，
∴∠QBD = ∠BDA。
∵∠QBD + ∠QBP = ∠BDA + ∠ADO = 180°，
∴∠QBP = ∠ADO，
∴△PQB≌△OAD(AAS)，
∴OD = BP = $\frac{4}{3}$，PQ = OA = 4，
∴OP = OB + PB = 3 + $\frac{4}{3}$ = $\frac{13}{3}$，
∴此时点Q的坐标为Q3(-4,$\frac{13}{3}$)。
综上所述，点Q的坐标为Q1(4,$\frac{5}{3}$)，Q2(4,-$\frac{5}{3}$)，Q3(-4,$\frac{13}{3}$)。