《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

20.(期中·22 - 23晋中)综合与探究
如图①,在Rt△ABC中,∠B = 90°,∠ACB = 30°,AC = 8,D为BC边上一动点,以AD为边在其右侧作等边三角形ADE,F为AC的中点,连接EF,CE.
(1)求证:△ABD≌△AFE.
(2)如图②,当D为BC的中点时,过点E作EG⊥BC于点G,求△CDE的面积.
(3)若点D从点B处运动到点C处,直接写出点E所经过的路径长.

答案：

(1)【证明】
∵∠B = 90°，∠ACB = 30°，
∴∠BAC = 60°，AB = $\frac{1}{2}AC$.
∵F为AC的中点，
∴AF = $\frac{1}{2}AC$，
∴AB = AF.
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE = 60°，AD = AE = DE，
∴∠BAD = ∠FAE.
在△ABD和△AFE中，AB = AF，∠BAD = ∠FAE，AD = AE，
∴△ABD≌△AFE(SAS).
(2)【解】
∵△ABD≌△AFE，
∴∠AFE = ∠B = 90°.
∵F为AC的中点，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴EA = EC.
∵AD = AE = DE，
∴EC = DE = AD.
∵EG⊥BC，
∴DG = $\frac{1}{2}CD$.
∵∠B = 90°，∠ACB = 30°，AC = 8，
∴AB = $\frac{1}{2}AC = 4$，
∴BC = $\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}$.
∵D为BC的中点，
∴BD = CD = $\frac{1}{2}BC = 2\sqrt{3}$，
∴DG = $\frac{1}{2}CD = \sqrt{3}$，
∴ED = AD = $\sqrt{AB^{2}+BD^{2}}=\sqrt{4^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=2\sqrt{7}$.
在Rt△DEG中，EG = $\sqrt{DE^{2}-DG^{2}} = 5$，
∴$S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}CD\cdot EG=\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}\times5 = 5\sqrt{3}$.
(3)【解】$4\sqrt{3}$.
分析：如图，当点D与点B重合时，点E在点E'处；当点D与点C重合时，点E在点E''处，且△ACE''是等边三角形.
由
(2)得AE = CE，
∴点E始终落在线段AC的垂直平分线上，
∴点E的运动路径是从AC的中点E'处，沿着AC的垂直平分线运动到点E''处.
由△E'AE''≌△BAC(AAS)，可推得E'E'' = BC = $4\sqrt{3}$.