《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

20.(期中·23 - 24晋中榆次区)(8分)阅读与思考
学习完等边三角形相关内容后，老师布置了如下课后探究题：
证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
以下是小宇同学的解题过程，请认真阅读并完成相应任务.
已知：如图①，△ABC是直角三角形，∠C = 90°，BC = $\frac{1}{2}$AB.
求证：∠A = 30°.
证明：如图②，延长BC至点D，使得CD = BC，连接AD.
∵∠ACB = 90°，∴∠ACD = 90°.
又∵AC = AC，∴△ABC≌△ADC(依据)，∴AB = AD.
∵BC = CD = $\frac{1}{2}$BD，BC = $\frac{1}{2}$AB，∴BD = AB，∴AB = AD = BD，
∴△ABD是等边三角形，∴∠B = 60°.
又∵∠ACB = 90°，∴∠BAC = 30°.
　　
任务：
(1)上述材料中的依据是指______________.
(2)请你写出上述所证命题“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”的逆命题，并完成证明.
逆命题：
已知：
求证：
证明：

答案：
【解】
(1)边角边(或SAS)
(2)逆命题：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。已知：如图①，在△ABC中，∠ACB = 90°，∠BAC = 30°。求证：BC = $\frac{1}{2}AB$。证明：如图②，延长BC至点D，使得CD = BC，连接AD。
∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°，
∴∠ACD = 90°，∠B = 60°。又
∵AC = AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴AB = AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BC = $\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AB$。即BC = $\frac{1}{2}AB$。