《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

5.(期末·22 - 23太原改编)我们小学学分数时学过真分数和假分数，初中我们又学习了分式，现在我们来了解一下什么是“真分式”和“假分式”:对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，称为“真分式”，如$\frac{x}{x^{2}-1}$,$\frac{2}{x + 2}$;当分子的次数大于或等于分母的次数时，称为“假分式”,如$\frac{x^{2}}{x + 2}$.假分式也可以化为带分式的形式，即整式与“真分式”的和的形式,如
　$\frac{2x + 1}{x - 2}=\frac{2x - 4 + 5}{x - 2}=\frac{2(x - 2)+5}{x - 2}=2+\frac{5}{x - 2}$,
　$\frac{x^{2}+2}{x - 1}=\frac{x^{2}-1 + 1 + 2}{x - 1}=\frac{(x - 1)(x + 1)+3}{x - 1}=x + 1+\frac{3}{x - 1}$.
　(1)分式$\frac{4x^{2}-3}{2x - 1}$是________分式(填“真”或“假”).
　(2)请将分式$\frac{4x^{2}-3}{2x - 1}$化为带分式的形式,当$\frac{4x^{2}-3}{2x - 1}$的值为整数时,求整数x的所有可能值.

答案： [解]
(1)假
(2)原式=$\frac{(2x + 1)(2x - 1) - 2}{2x - 1}=2x + 1 - \frac{2}{2x - 1}$.
∵原分式的值是整数,
∴$2x - 1$是2的因数,
∴$2x - 1 = \pm1$或$2x - 1 = \pm2$.
∵$x$是整数,
∴$x = 1$或$x = 0$.

6.(模考·2022太原志达中学改编)已知$n=\frac{6}{m}$,且n = m - 1,则代数式$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}$的值为(　　　)
　
A.$-\frac{5}{6}$　　　
　B.$\frac{5}{6}$　　　　
　C.$-\frac{1}{6}$　　　
　D.$\frac{1}{6}$

答案： C[解析]
∵$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{n - m}{mn}$,$mn = 6$,$n - m = -1$,
∴原式=$-\frac{1}{6}$.故选C.

7.已知$x=\sqrt{5}-1$,$y=\sqrt{5}+1$,那么代数式$\frac{x^{3}-xy^{2}}{x(x - y)}$的值是______.

答案： $2\sqrt{5}$[解析]原式=$\frac{x(x + y)(x - y)}{x(x - y)}= x + y$.当$x = \sqrt{5}-1$,$y = \sqrt{5}+1$时,原式=$\sqrt{5}-1+\sqrt{5}+1=2\sqrt{5}$.故答案为$2\sqrt{5}$.

8.(月考·23 - 24山西省实验)若$\frac{a}{b}=2$,则$\frac{a^{2}-ab + b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=$_______;若$x+\frac{1}{x}=3$,则$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=$_______.

答案： $\frac{3}{5}$　7[解析]
∵$\frac{a}{b}=2$,
∴$a = 2b$,$\frac{a^{2}-ab + b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{4b^{2}-2b\cdot b + b^{2}}{4b^{2}+b^{2}}=\frac{3b^{2}}{5b^{2}}=\frac{3}{5}$.$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x + \frac{1}{x})^{2}-2=3^{2}-2=7$.故答案为$\frac{3}{5}$;7.

9.已知a＞b＞0,且$a^{2}+b^{2}=5ab$,那么$\frac{b + a}{b - a}$的值为___________.

答案： $-\frac{\sqrt{21}}{3}$[解析]
∵$(\frac{b + a}{b - a})^{2}=\frac{(a + b)^{2}}{(b - a)^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}+2ab}{a^{2}+b^{2}-2ab}$,
∴$(\frac{b + a}{b - a})^{2}=\frac{5ab + 2ab}{5ab - 2ab}=\frac{7ab}{3ab}=\frac{7}{3}$.
∵$a ＞ b ＞ 0$,
∴$b - a ＜ 0$,
∴$\frac{b + a}{b - a}＜0$,
∴$\frac{b + a}{b - a}=-\sqrt{\frac{7}{3}}=-\frac{\sqrt{21}}{3}$.故答案为$-\frac{\sqrt{21}}{3}$.

10.(月考·22 - 23山西省实验)已知实数a,b,c满足$\frac{a}{b + c}+\frac{b}{c + a}+\frac{c}{a + b}=1$,则$\frac{a^{2}}{b + c}+\frac{b^{2}}{c + a}+\frac{c^{2}}{a + b}=$________.

答案： 0[解析]
∵$\frac{a}{b + c}+\frac{b}{c + a}+\frac{c}{a + b}=1$,左右同乘$(a + b + c)$,得$(\frac{a^{2}}{b + c}+a)+(\frac{b^{2}}{c + a}+b)+(\frac{c^{2}}{a + b}+c)=a + b + c$,
∴$\frac{a^{2}}{b + c}+\frac{b^{2}}{c + a}+\frac{c^{2}}{a + b}=0$.故答案为0.