《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

23. 新定义问题(月考·22 - 23山西省实验)(13分)如果两个分式$M$与$N$的和为常数$k$，且$k$是正整数，则称$M$与$N$互为“和整分式”，常数$k$称为“和整值”. 如分式$M=\frac{x}{x + 2}$，$N=\frac{2}{x + 2}$，$M + N = 1$，则$M$与$N$互为“和整分式”，“和整值”$k = 1$.
(1)已知分式$A=\frac{x + 9}{x + 3}$，$B=\frac{x^{2}-6x + 9}{x^{2}-9}$，判断$A$与$B$是否互为“和整分式”. 若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”$k$.
(2)已知分式$C=\frac{6x + 7}{2x + 5}$，$D=\frac{E}{4x^{2}-25}$，$C$与$D$互为“和整分式”，且“和整值”$k = 3$，若$x$为整数，分式$D$的值为整数$t$，求：
①$E$所代表的代数式是______；②$x=$______.

答案：
(1)$A$与$B$互为“和整分式”.
∵$A=\frac{x + 9}{x + 3}$，$B=\frac{x² - 6x + 9}{x² - 9}$，
∴$A + B=\frac{x + 9}{x + 3}+\frac{x² - 6x + 9}{x² - 9}=\frac{x + 9}{x + 3}+\frac{(x - 3)²}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{x + 9}{x + 3}+\frac{x - 3}{x + 3}=\frac{2(x + 3)}{x + 3}=2$，
∴$A$与$B$互为“和整分式”，“和整值”$k = 2$.
(2)①$8(2x - 5)$
分析：
∵$C=\frac{6x + 7}{2x + 5}$，$D=\frac{E}{4x² - 25}$，
∴$C + D=\frac{6x + 7}{2x + 5}+\frac{E}{(2x + 5)(2x - 5)}=\frac{(6x + 7)(2x - 5)+E}{(2x + 5)(2x - 5)}$.
∵$C$与$D$互为“和整分式”，且“和整值”$k = 3$，
∴$(6x + 7)(2x - 5)+E = 3(2x + 5)(2x - 5)$，
∴$E = 3(2x + 5)(2x - 5)-(6x + 7)(2x - 5)=(2x - 5)[3(2x + 5)-(6x + 7)]=(2x - 5)(6x + 15 - 6x - 7)=8(2x - 5)$.
②$-2$或$-3$
分析：
∵$D=\frac{E}{4x² - 25}=\frac{8(2x - 5)}{4x² - 25}=\frac{8(2x - 5)}{(2x + 5)(2x - 5)}=\frac{8}{2x + 5}$，分式$D$的值为整数$t$，
∴$2x + 5 = ±1$或$2x + 5 = ±2$或$2x + 5 = ±4$或$2x + 5 = ±8$.
I.当$2x + 5 = ±1$时，解得$x = -2$或$-3$；
II.当$2x + 5 = ±2$时，$x = -\frac{3}{2}$或$-\frac{7}{2}$；
III.当$2x + 5 = ±4$时，$x = -\frac{1}{2}$或$-\frac{9}{2}$；
IV.当$2x + 5 = ±8$时，$x = \frac{3}{2}$或$-\frac{13}{2}$.
∵$x$为整数，
∴$x = -2$或$-3$.