《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

20.(期中·22 - 23山大附中)(8分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1)，B(4,1)，C(3,3).
(1)将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A₁B₁C₁，请画出△A₁B₁C₁.
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A₂B₂C₂，请画出△A₂B₂C₂.
(3)判断以O，A₁，B为顶点的三角形的形状.(无需说明理由)
　　　　　　

答案：
[解]
(1)如图所示，△A₁B₁C₁即所求.

(2)如图所示，△A₂B₂C₂即所求.
(3)以O，A₁，B为顶点的三角形的形状为等腰直角三角形.
分析：OB = OA₁ = $\sqrt{4² + 1²}$=$\sqrt{17}$，A₁B = $\sqrt{5² + 3²}$=$\sqrt{34}$，即OB² + OA₁² = A₁B²，所以以O，A₁，B为顶点的三角形的形状为等腰直角三角形.

21. 方法探索(期末·22 - 23运城)(10分)阅读与思考
“作差法”比较大小
比较代数式2m² + m - 1与m² + m - 3的大小时，可以使用如下方法：
(2m² + m - 1) - (m² + m - 3) = 2m² + m - 1 - m² - m + 3 = m² + 2.
∵ m² ≥ 0，∴ m² + 2＞0，∴ 2m² + m - 1＞m² + m - 3.
这种比较大小的方法叫“作差法”.
任务：(1)比较大小：x² + 9______6x.
(2)若m＞n＞1，A = m + $\frac{1}{m}$，B = n + $\frac{1}{n}$，试比较A与B的大小.

答案： [解]
(1)≥
(2)
∵ A - B=(m + $\frac{1}{m}$)-(n + $\frac{1}{n}$)=(m - n)+($\frac{1}{m}$ - $\frac{1}{n}$)=(m - n)-$\frac{m - n}{mn}$=(m - n)(1 - $\frac{1}{mn}$).
∵ m＞n＞1，
∴ m - n＞0，mn＞1，
∴ 0＜$\frac{1}{mn}$＜1，
∴ 1 - $\frac{1}{mn}$＞0，
∴ (m - n)(1 - $\frac{1}{mn}$)＞0，
∴ A＞B.