《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

23.(期中·23 - 24运城)(13分)探索与发现
操作发现：甲、乙两位同学对“三角形中的中点问题”进行了讨论，过程如下：
如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是边AB上一点，连接ED.
甲同学：延长ED至点F，使DF = DE，连接CF，如图②所示.
∵ D是BC的中点，∴ BD = CD.
又∵ DE = DF，∠BDE = ∠CDF，∴ △BDE =△CDF(依据1：__________).
乙同学：过点C作AB的平行线交ED的延长线于点G，如图③所示.
∵ CG//AB，∴ ∠B = ∠DCG.
又∵ BD = CD，∠BDE = ∠CDG，∴ △BDE =△CDG(依据2：__________).
　　　　　　
(1)上述过程中的依据1是__________，依据2是__________.(填“SAS”“ASA”或“AAS”)
方法感悟：当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法.
解决问题：如图④，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE，交边AC于点F，连接EF.
(2)求证：BE + CF＞EF.
(3)若∠A = 90°，则线段BE，CF，EF之间的等量关系为____________.
拓展应用：
(4)如图⑤，在Rt△ACB中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4，以A为顶点作Rt△ADE，使∠ADE = 90°，∠EAD = ∠CAB，AD = 2，连接BE，F为线段BE的中点. 将△ADE绕点A在平面内旋转，当DE//BC时，请直接写出线段CF的长.
　　　　　　

答案：

(1)[解]SAS ASA
(2)[证明]如图①所示，延长ED到H使得DH = DE，连接CH，FH.
∵ D是BC的中点，
∴ BD = CD.
又
∵ DH = DE，∠BDE = ∠CDH，
∴ △BDE≌△CDH(SAS)，
∴ BE = CH.
∵ DF⊥EH，ED = DH，
∴ DF垂直平分EH，
∴ EF = HF.
在△CFH中，CH + CF＞HF，
∴ BE + CF＞EF.

(3)EF² = CF² + BE²
分析：
∵ ∠A = 90°，
∴ ∠B + ∠ACB = 90°.
∵ △BDE≌△CDH，
∴ ∠DCH = ∠B，
∴ ∠DCH + ∠ACB = 90°，
∴ ∠HCF = 90°.
在Rt△HCF中，由勾股定理得HF² = CF² + CH²，
∴ EF² = CF² + BE².
(4)$\sqrt{2}$或3$\sqrt{2}$.
分析：如题图⑤所示，在Rt△ACB中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4，
∴ ∠CAB = 45°，
∴ ∠EAD = ∠CAB = 45°，
∴ △ADE是等腰直角三角形，
∴ DE = AD = 2.
①如图②所示，当点D在线段AC上时，延长ED，CF交于点M，连接AM.
∵ EM//BC，
∴ ∠FEM = ∠FBC，∠FME = ∠FCB.
∵ 点F为BE的中点，
∴ EF = BF，
∴ △EFM≌△BFC(AAS)，
∴ EM = BC = 4，CF = MF.
∵ ED = 2，
∴ MD = 2 = ED.
又
∵ ∠EDA = ∠MDA = 90°，AD = AD，
∴ △EAD≌△MAD(SAS)，
∴ ∠MAD = ∠EAD = 45°，
∴ 点M在AB上.
∵ 在Rt△ACB中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4，
∴ AB = $\sqrt{AC² + BC²}$=4$\sqrt{2}$.
∵ 在Rt△ADM中，∠ADM = 90°，AD = DM = 2，
∴ AM = $\sqrt{AD² + DM²}$=2$\sqrt{2}$，
∴ AM = $\frac{1}{2}$AB，
∴ 点M为AB的中点，
∴ CM = $\frac{1}{2}$AB = 2$\sqrt{2}$，
∴ CF = $\frac{1}{2}$CM = $\sqrt{2}$.
②如图③所示，当点D在CA的延长线上时，延长CF，DE交于点N，同理可证明△EFN≌△BFC，
∴ EN = BC = 4，CF = NF，
∴ DN = DE + EN = 6.
又
∵ CD = CA + AD = 6，∠D = 90°，
∴ CN = $\sqrt{CD² + DN²}$=6$\sqrt{2}$，
∴ CF = NF = $\frac{1}{2}$CN = 3$\sqrt{2}$.
综上所述，当DE//BC时，线段CF的长为$\sqrt{2}$或3$\sqrt{2}$.