《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

23. 方法探索 (13分)整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形. 把多项式乘多项式法则反过来,将得到:$ac + ad+bc + bd=(ac + ad)+(bc + bd)=a(c + d)+b(c + d)=(a + b)(c + d)$.
这样该多项式就被分解为若干个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做分组分解法.
例:$x^{2}-y^{2}-2y - 1=x^{2}-(y^{2}+2y + 1)$(第一步)
$=x^{2}-(y + 1)^{2}$(第二步)
$=(x + y + 1)(x - y - 1)$.(第三步)
(1)例题求解过程中,第二步变形是利用____________________(填乘法公式的名称).
(2)利用上述方法,分解因式:$x^{2}+xz-yz-2xy + y^{2}$.
(3)应用:“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲,我们利用它验证了勾股定理. 如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形,中间是一个小正方形. 若直角三角形的两条直角边长分别是$a$和$b(a＞b)$,斜边长是3,小正方形的面积是1.
根据以上信息,先将$a^{4}-2a^{3}b+2a^{2}b^{2}-2ab^{3}+b^{4}$因式分解,再求值.
　　　　　　　　　　

答案： 【解】
(1)完全平方公式
(2)x² + xz - yz - 2xy + y²=(x² - 2xy + y²)+(xz - yz)=(x - y)² + z(x - y)=(x - y)(x - y + z)
(3)原式=(a² + b²)² - 2ab(a² + b²)=(a² + b²)(a² + b² - 2ab)=(a² + b²)(a - b)²
由题可知(a² + b²)=9，(a - b)² = 1，
∴原式=9.