《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

20.(中考·2023山西改编)(10分)阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图①，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形.

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形. 瓦里尼翁是法国数学家、力学家. 瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半. 此结论可借助图①证明如下：
证明：如图②，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N.
∵ H，G分别为AD，CD的中点，∴ HG//AC，HG = 1/2AC.(依据1)
∴ DN⊥HG. 连接AG，S△AHG = S△DHG，S△DHG = 1/2HG·DN，S△AHG = 1/2HG·MN，∴ MN = DN.
∵ 四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴ HE//GF，即HP//GQ.
∵ HG//AC，即HG//PQ，∴ 四边形HPQG是平行四边形.(依据2)
∴ S□HPQG = HG·MN = 1/2HG·DM.
∵ S△ADC = 1/2AC·DM = HG·DM，∴ S□HPQG = 1/2S△ADC.
同理，…
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：______________________________；依据2是指：______________________________.
(2)在图①中，分别连接AC，BD得到图③，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论.

答案： [解]
(1)三角形中位线定理 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)瓦里尼翁平行四边形$EFGH$的周长等于$AC + BD$.证明如下：
∵点$E$,$F$,$G$,$H$分别是边$AB$,$BC$,$CD$,$DA$的中点，
∴$EF = \frac{1}{2}AC$，$GH = \frac{1}{2}AC$，$EH = \frac{1}{2}BD$，$FG = \frac{1}{2}BD$，
∴瓦里尼翁平行四边形$EFGH$的周长为$EF + GF + GH + EH = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BD + \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BD = AC + BD$.