《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

6. (月考·22 - 23山西省实验)如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠C = 90°，AB = 8，AD = CD = 5，点M为BC上异于B，C的一定点，点N为AB上的一动点，E，F分别为DM，MN的中点，在点N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为( )



A. 4
B. 4.5
C. 5
D. 6

答案：
A[解析]如图，取MB的中点P，连接FP，EP，DN。
∵FP是△MNB的中位线，EF是△MDN的中位线，
∴FP//BN，FP = $\frac{1}{2}$BN，EF//DN，EF = $\frac{1}{2}$DN，
∴在点N从A到B的运动过程中，点F在FP所在直线上运动，即线段EF扫过的图形为△EFP，
∴当点N与点A重合时，FP = $\frac{1}{2}$BN = $\frac{1}{2}$BA = 4。过点D作DQ⊥AB于点Q。
∵AB//CD，∠C = 90°，AB = 8，AD = CD = 5，
∴AQ = 8 - 5 = 3，由勾股定理得DQ = 4，
∴当点N与点Q重合时，EF = $\frac{1}{2}$DN = $\frac{1}{2}$DQ = 2，EF//DQ，
∴EF⊥AB，即EF⊥FP，
∴在△EFP中，FP边上的高为2，
∴在点N从A到B的运动过程中，线段EF扫过的图形面积为$\frac{1}{2}$×4×2 = 4。故选A。

7. (期末·22 - 23晋中)如图，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，F是BE的延长线与AC的交点，若AF = 2，则AC的长为________.

答案：
3[解析]如图，取BF的中点H，连接DH。
∵BD = DA，BH = HF，
∴DH是△ABF的中位线，
∴DH = $\frac{1}{2}$AF = 1，DH//AF，
∴∠EDH = ∠ECF。在△DEH和△CEF中，∠EDH = ∠ECF，DE = CE，∠DEH = ∠CEF，
∴△DEH≌△CEF(ASA)，
∴CF = DH = 1，
∴AC = AF + CF = 3。
故答案为3。

8. (期末·22 - 23运城盐湖区改编)如图，在△ABC中，AB = 20，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的角平分线，CF⊥AE于点F，若DF = 3，则AC的长是________.

答案：
14[解析]如图，延长CF交AB于点G。
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF = ∠CAF。
∵CF⊥AE，
∴∠AFG = ∠AFC。在△AFG和△AFC中，∠GAF = ∠CAF，AF = AF，∠AFG = ∠AFC，
∴△AFG≌△AFC(ASA)，
∴AG = AC，GF = CF。又
∵D是BC的中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴BG = 2DF = 6，
∴AG = AB - BG = 20 - 6 = 14，
∴AC = 14。故答案为14。

9. 如图，已知在Rt△ABC(AC ＞ BC)中，∠BCA = 90°，BC = 6，D为AB边上的中点，过点D的直线DF将△ABC的周长平分且交AC于点F，则DF的长为________.

答案：
3$\sqrt{2}$[解析]如图所示，延长AC到E使得AF = EF，连接BE。
∵D为AB边上的中点，
∴BD = AD。
∵过点D的直线DF将△ABC的周长平分且交AC于点F，
∴BC + CF + BD = AD + AF，
∴AF = BC + CF，
∴EF = BC + CF = CE + CF，
∴CE = BC = 6。
∵∠BCA = 90°，
∴∠BCE = 90°。在Rt△EBC中，由勾股定理得BE = $\sqrt{BC^{2}+CE^{2}}$ = 6$\sqrt{2}$。
∵D，F分别是AB，AE的中点，
∴DF为△ABE的中位线，
∴DF = $\frac{1}{2}$BE = 3$\sqrt{2}$。故答案为3$\sqrt{2}$。

10. (期中·23 - 24大同)如图，AB⊥CD，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，若AB = 8，CD = 6，则EF的长是________.

答案：
5　[解析]如图，连接BD，取BD的中点G，连接GE，GF。
∵点E是AD的中点，点G是BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG//AB，EG = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4。同理，FG//CD，FG = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$×6 = 3。又AB⊥CD，
∴AB⊥FG，
∴EG⊥FG，
∴∠EGF = 90°。在Rt△EGF中，由勾股定理，得EF = $\sqrt{EG^{2}+FG^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+3^{2}}$ = 5。故答案为5。

11. (模考·2023晋中榆次区一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 60°，AB = 4，延长AB到点D，使BD = $\frac{1}{2}$AB，分别过点B，D作BE//AC，DE//BC，连接CE，点M，N分别是CE，AD的中点，连接MN，则MN = ________.

答案：
$\frac{\sqrt{7}}{2}$　[解析]如图，过点M作MF//AC交AB于点F，交BC于点G，过点M作MH⊥AB于点H。
∵∠ACB = 90°，∠A = 60°，
∴∠ABC = 30°。
∵BE//AC，DE//BC，
∴∠EBD = ∠A = 60°，∠D = ∠ABC = 30°，
∴∠CBE = 180° - 60° - 30° = 90°。
∵DE//BC，
∴∠BED = ∠CBE = 90°。
∵AB = 4，BD = $\frac{1}{2}$AB = 2，
∴AC = $\frac{1}{2}$AB = 2，BE = $\frac{1}{2}$BD = 1。
∵MF//AC，点M，N分别是CE，AD的中点，易得点G是BC的中点，点F是AB的中点，
∴GF = $\frac{1}{2}$AC = 1，MG = $\frac{1}{2}$BE = $\frac{1}{2}$，AF = BF = 2，
∴MF = MG + GF = $\frac{3}{2}$。
∵MF//AC，
∴∠MFN = ∠A = 60°。
∵MH⊥AB，
∴∠FMH = 30°，
∴FH = $\frac{1}{2}$MF = $\frac{3}{4}$，
∴MH = $\sqrt{MF^{2}-FH^{2}}$ = $\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
∵AN = DN = $\frac{1}{2}$AD = 3，
∴NH = AN - AF - FH = 3 - 2 - $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{4}$，
∴MN = $\sqrt{MH^{2}+NH^{2}}$ = $\frac{\sqrt{7}}{2}$。故答案为$\frac{\sqrt{7}}{2}$。