《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

23. 探究性问题(13分)综合与探究
(1)如图①,在Rt△ACB中,∠BAC = 90°,AB = AC,分别过B,C两点作过点A的直线l的垂线,垂足分别为D,E. 当D,E两点在直线BC的同侧时,猜想BD,CE,DE三条线段有怎样的数量关系? 并说明理由.
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB = AC,D,A,E三点都在直线l上,并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC = α,其中α为任意锐角或钝角. 请问(1)中的结论是否成立? 若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图③,∠BAC = 90°,AB = 35,AC = 40. 点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动;点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动. 点P和Q分别以2个单位长度/s和3个单位长度/s的速度同时开始运动,只要有一点到达相应的终点,两点同时停止运动. 在运动过程中,分别过P和Q作PF⊥l于F,QG⊥l于G. 问:当△PFA与△AGQ全等时,点P运动的时间是______s.(直接写出结果即可)
　　　　

答案： 【解】
(1)$DE = BD + CE$. 理由如下：
∵$BD\perp$直线$l$，$CE\perp$直线$l$，
∴$\angle BDA=\angle CEA = 90^{\circ}$.
∵$\angle BAC = 90^{\circ}$，
∴$\angle BAD+\angle CAE = 90^{\circ}$.
∵$\angle BAD+\angle ABD = 90^{\circ}$，
∴$\angle CAE=\angle ABD$.
在$\triangle ADB$和$\triangle CEA$中，$\angle BDA=\angle AEC$，$\angle ABD=\angle CAE$，$AB = AC$，
∴$\triangle ADB\cong\triangle CEA(AAS)$，
∴$BD = AE$，$AD = CE$，
∴$DE = AE + AD = BD + CE$.
(2)结论成立. 证明如下：
∵$\angle BDA=\angle BAC=\alpha$，
∴$\angle DBA+\angle BAD=\angle BAD+\angle CAE = 180^{\circ}-\alpha$.
∴$\angle ABD=\angle CAE$.
在$\triangle ADB$和$\triangle CEA$中，$\angle BDA=\angle AEC$，$\angle ABD=\angle CAE$，$AB = AC$，
∴$\triangle ADB\cong\triangle CEA(AAS)$，
∴$BD = AE$，$AD = CE$，
∴$DE = AE + AD = BD + CE$.
(3)5 或 15
分析：设点$P$运动的时间为$t s$.
①当$0\leqslant t＜\frac{40}{3}$时，点$P$在$AB$上，点$Q$在$AC$上，
此时有$BP = 2t$，$CQ = 3t$.
当$PA = QA$，即$35 - 2t = 40 - 3t$时，解得$t = 5$.
∵$PF\perp l$，$QG\perp l$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，
∴$\angle PFA=\angle QGA=\angle BAC = 90^{\circ}$.
∴$\angle PAF = 90^{\circ}-\angle GAQ=\angle AQG$.
在$\triangle PFA$和$\triangle AGQ$中，$\angle PFA=\angle QGA$，$\angle PAF=\angle AQG$，$PA = QA$，
∴$\triangle PFA\cong\triangle AGQ(AAS)$.
②当$\frac{40}{3}\leqslant t＜\frac{35}{2}$时，点$P$在$AB$上，点$Q$也在$AB$上，
当两点相遇时两三角形全等，此时有$2t + 3t = 75$，解得$t = 15$.
③当$\frac{35}{2}\leqslant t\leqslant25$时，点$Q$在$AB$上，点$P$在$AC$上，
当$PA = QA$，即$2t - 35 = 3t - 40$时，解得$t = 5$(舍去).
综上所述，当$t$等于 5 或 15 时，$\triangle PFA$与$\triangle AGQ$全等.