《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

18.(期中·23 - 24太原)(8分)如图，在△ABC中，AB = AC，点D是边BA延长线上一点.
(1)尺规作图：过点D作DE⊥BC于点E，交AC于点F(要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答(2)题).
(2)在(1)得到的图中，求证：AD = AF.
　　

答案：

(1)【解】如图①，DE即所求。

(2)【证明】如图②，
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C。由
(1)得，DE⊥BC，
∴∠DEB = ∠DEC = 90°，
∴∠B + ∠1 = 90°，∠C + ∠2 = 90°，
∴∠1 = ∠2。
∵∠2 = ∠3，
∴∠1 = ∠3，
∴AD = AF。

19. 情境题(期中·23 - 24运城盐湖区)(8分)云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救. 如图，某辆高为3.4 m，云梯最长可以伸长到50 m的消防车，在点A处将云梯伸到最长去救援点A'处距离地面高度为33.4 m(A'M = 33.4 m)的人后，再将该消防车保持原有状态水平向着火的方向移动到点B处去救援点B'处距离地面高度为51.4 m(B'M = 51.4 m)的人，其中AA' = BB' = 50 m，求消防车水平向着火的方向移动的距离(即AB的长).
　　

答案：
【解】如图，延长AB交A'M于点D。根据题意，得DM = 3.4 m，AD⊥A'D。
∴A'D = A'M - DM = 30 m，B'D = B'M - DM = 48 m。在Rt△AA'D中，根据勾股定理，得AD = $\sqrt{AA'^{2}-A'D^{2}} = 40$m。在Rt△BB'D中，根据勾股定理，得BD = $\sqrt{BB'^{2}-B'D^{2}} = 14$m。
∴AB = AD - BD = 26 m。答：消防车水平向着火的方向移动的距离(即AB的长)为26 m。