《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

14. 探究性问题(期末·21 - 22晋中)综合与探究
如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为(4，0)，(-2，3). 将□OABC先向右平移4个单位长度后，再向下平移$\frac{3}{2}$个单位长度，得到□O'A'B'C'.
(1)请你直接写出点O'，C'的坐标.
(2)□O'A'B'C'与□OABC的重叠部分的形状是________，重叠部分的面积是________.
(3)在平面内是否存在一点D，使得以O，O'，C'，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
[解]
(1)O'(4,-$\frac{3}{2}$)，C'(2,$\frac{3}{2}$)。
(2)平行四边形$\frac{3}{2}$
(3)存在点D，使得以O，O'，C'，D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标是(-2,3)或(2,-3)或(6,0)。
(方法1)如图①，当O'C'为平行四边形的边时，O'C'$\underline{\underline{//}}$OD，O'(4,-$\frac{3}{2}$)，C'(2,$\frac{3}{2}$)。
①当四边形OO'C'D1为平行四边形时，
∵点O'向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点C'，
∴点O向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点D1，
∴D1(-2,3)。
②当四边形OC'O'D2为平行四边形时，
∵点C'向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点O'，
∴点O向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点D2，
∴D2(2,-3)。
当O'C'为平行四边形的对角线，即OC'为平行四边形的边时，
∵点O向右平移2个单位长度，再向上平移$\frac{3}{2}$个单位长度后得到点C'，
∴点O'向右平移2个单位长度，再向上平移$\frac{3}{2}$个单位长度后得到点D3，
∴D3(6,0)。
综上所述，点D的坐标是(-2,3)或(2,-3)或(6,0)。
(方法2)①当OD//C'O'，C'D//OO'时，四边形OO'C'D是平行四边形。
如图②，过点D，O'分别作DM⊥x轴，O'N⊥B'C'，垂足分别为点M，N，
∴∠DMO = ∠O'NC' = 90°。
∵OD//C'O'，
∴∠1 = ∠2。
∵B'C'//x轴，
∴∠2 = ∠3，
∴∠1 = ∠3。
∵四边形OO'C'D是平行四边形，
∴OD = C'O'，
∴△ODM≌△C'O'N(AAS)，
∴OM = C'N，DM = O'N。
∵O'(4,-$\frac{3}{2}$)，C'(2,$\frac{3}{2}$)，
∴C'N = 2，O'N = 3，
∴OM = C'N = 2，DM = O'N = 3，
∴D(-2,3)。
②当OD//C'O，OC'//O'D时，四边形OC'O'D是平行四边形。
如图③，过点D，O'分别作DP⊥x轴，O'Q⊥B'C'，垂足分别为点P，Q，
∴∠DPO = ∠O'QC' = 90°。
∵OD//C'O，
∴∠1 = ∠2。
∵B'C'//x轴，
∴∠2 = ∠3，
∴∠1 = ∠3。
∵四边形OC'O'D是平行四边形，
∴OD = C'O'，
∴△ODP≌△C'O'Q(AAS)，
∴OP = C'Q，DP = O'Q。
∵O'(4,-$\frac{3}{2}$)，C'(2,$\frac{3}{2}$)，
∴C'Q = 2，O'Q = 3，
∴OP = C'Q = 2，DP = O'Q = 3，
∴D(2,-3)。
③当OC//DO'，OO'//C'D时，四边形OO'DC'是平行四边形。
∵点O'，C'到x轴的距离相等，
∴点D在x轴上。
如图④，过点C'，O'分别作C'R⊥x轴，O'H⊥x轴，垂足分别为点R，H，
∴∠C'RO = ∠O'HD = 90°。
∵OC'//DO'，
∴∠1 = ∠2。
∵四边形OO'DC'是平行四边形，
∴OC' = O'D，
∴△OC'R≌△DO'H(AAS)，
∴OR = DH，C'R = O'H。
∵O'(4,-$\frac{3}{2}$)，C'(2,$\frac{3}{2}$)，
∴DH = OR = 2，OH = 4，
∴OD = 6，
∴D(6,0)。
综上所述，点D的坐标是(-2,3)或(2,-3)或(6,0)。