《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

17.如图,在△ABC中,∠ACB = 90°,AC = BC = √2,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°到△AB'C'的位置,则图中阴影部分的面积是( )

A.√2
B.√3
C.3√2
D.2√3

答案： 17.B[解析]
∵∠ACB = 90°，AC = BC = $\sqrt{2}$，
∴AB = $\sqrt{2}$AC = 2。
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，
∴AB = AB'，∠BAB' = 60°，
∴△ABB'是等边三角形。
易知题图中阴影部分的面积 = S△ABB'，
∴题图中阴影部分的面积 = $\frac{\sqrt{3}}{4}$×2² = $\sqrt{3}$。故选B。

18.(期中·22 - 23山西省实验)如图,点P是等边三角形ABC内一点,AP = 2,BP = 2√3,CP = 4,将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP',连接CP'.则四边形APCP'的面积为________.

答案： 18.3$\sqrt{3}$　[解析]连接PP'（图略），
∵△ABC为等边三角形，
∴AB = AC = BC，∠BAC = 60°。
∵线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP'，
∴AP = AP'，∠PAP' = 60°，
∴△APP'为等边三角形，
∴PP' = AP = 2。
∵∠PAP' - ∠PAC = ∠BAC - ∠PAC，
∴∠CAP' = ∠BAP。
又
∵AC = AB，AP' = AP，
∴△AP'C≌△APB(SAS)，
∴P'C = PB = 2$\sqrt{3}$。
∵CP = 4，
∴PP'² + P'C² = PC²，
∴△PP'C为直角三角形，∠PP'C = 90°，
∴S四边形APCP' = S△APP' + S△P'PC = $\frac{\sqrt{3}}{4}$AP² + $\frac{1}{2}$PP'·P'C = $\frac{\sqrt{3}}{4}$×2² + $\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$ = 3$\sqrt{3}$。
故答案为3$\sqrt{3}$。

19.如图,在等边三角形ABC中,AB = 4,点E在BC边上,将射线AE绕点A逆时针旋转60°,与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点F,连接EF.设BE = x,△AEF的面积为y,则y与x之间的函数关系式为__________________________.

答案：
19.y = $\frac{\sqrt{3}}{4}$x² - $\sqrt{3}$x + 4$\sqrt{3}$　[解析]过点A作AH⊥BC于H，如图。
∵在等边三角形ABC中，AB = 4，
∴AH = 2$\sqrt{3}$，
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$ = 4$\sqrt{3}$。

∵射线AE绕点A逆时针旋转60°，
∴∠EAF = ∠BAC = 60°，
∴∠BAE = ∠CAF。
∵CF平分∠ACD，∠ACD = 120°，
∴∠ACF = ∠DCF = 60°，
∴∠B = ∠ACF，
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴CF = BE = x。
过点F作FG⊥BD于G，
∴FG = $\frac{\sqrt{3}}{2}$x。
∵CE = 4 - x，
∴S△ECF = $\frac{1}{2}$EC·FG = $\frac{1}{2}$(4 - x)×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x = $\sqrt{3}$x - $\frac{\sqrt{3}}{4}$x²。
∵△ABE≌△ACF，
∴S四边形AECF = S△ABC = 4$\sqrt{3}$，
∴y = S四边形AECF - S△ECF = 4$\sqrt{3}$ - ($\sqrt{3}$x - $\frac{\sqrt{3}}{4}$x²)，
即y = $\frac{\sqrt{3}}{4}$x² - $\sqrt{3}$x + 4$\sqrt{3}$。
故答案为y = $\frac{\sqrt{3}}{4}$x² - $\sqrt{3}$x + 4$\sqrt{3}$。

20.(月考·23 - 24山西省实验)如图,△ABC是等边三角形,AB = 9,点E是AB边上的一点,且AE = 1/3AB,点D是直线BC上一动点,连接ED,将线段ED绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF,连接AF,DF,则AF的最小值为________.

答案：
20.$\frac{3}{2}$ + $\sqrt{3}$　[解析]如图所示，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AP⊥EG于P，过点F作FH⊥EG于H，则∠DGE = ∠EHF = 90°。
又
∵∠DEF = 90°，
∴∠EDG + ∠DEG = 90° = ∠HEF + ∠DEG，
∴∠EDG = ∠FEH。
又
∵EF = DE，
∴△DEG≌△EFH(AAS)，
∴HF = EG。

∵△ABC是等边三角形，AB = 9，AE = $\frac{1}{3}$AB，
∴AE = 3，BE = 6，∠AEP = ∠BEG = 30°，
∴BG = $\frac{1}{2}$BE = 3，AP = $\frac{1}{2}$AE = $\frac{3}{2}$，
∴EG = $\sqrt{BE^{2}-BG^{2}}$ = 3$\sqrt{3}$，
∴HF = 3$\sqrt{3}$，
∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为3$\sqrt{3}$，
∴当AF⊥EG时，AF的最小值为AP + HF = $\frac{3}{2}$ + 3$\sqrt{3}$。
故答案为$\frac{3}{2}$ + 3$\sqrt{3}$。

21.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(-2,0),B(0,1),C(0,4),将线段AB向右平移,则在平移过程中,AC + BC的最小值是________.

答案： 21. $\sqrt{53}$　[解析]当线段AB向右平移时，AC + BC的值可看作线段AB不动，点C向左平移同样距离后AC + BC的值，此时，点C在直线y = 4上向左移动。作点B关于直线y = 4的对称点D(0,7)，连接AD（图略），则BC = CD。
当A，C，D三点共线时，AC + BC有最小值，且最小值为AD的长。由勾股定理可得AD = $\sqrt{2^{2}+7^{2}}$ = $\sqrt{53}$。故答案为$\sqrt{53}$。

22.如图,在△ABO中,∠AOB = 90°,∠ABO = 30°,将△AOB绕顶点O顺时针旋转,旋转角为x(0°＜x＜180°),得到△COD.设AO中点为E,CD中点为P,AO = 6,连接EP,当旋转角x = ________时,EP长度最大,最大值为________.

答案：
22.120°　9　[解析]
∵∠AOB = 90°，∠ABO = 30°，
∴AB = 2OA = 12，∠A = 60°。
∵△AOB绕顶点O顺时针旋转，旋转角为x(0°＜x＜180°)，得到△COD，
∴CD = AB = 12，AO = OC = 6，∠C = ∠A = 60°。

连接OP，
∵CD的中点为P，
∴CP = $\frac{1}{2}$CD = 6，
∴CP = OC，
∴△COP为等边三角形，
∴OP = OC = 6，∠POC = 60°。当点P，O，E三点共线时，如图，PE有最大值，且最大值为OE + OP。
∵点E为AO的中点，
∴OE = 3，
∴PE的最大值为OE + OP = 3 + 6 = 9。
∵∠POC = 60°，
∴旋转角x = ∠AOC = 180° - ∠POC = 120°。
故答案为120°；9。