《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

23. 探究性问题（期中·22 - 23晋中）(13分）综合与实践
问题情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”.
如图①，已知△ABC≌△ADE，点C与点E重合，其中∠B = ∠D = 90°，AB = BC = AD = DE = 4.
（1）将图①中的两个全等的△ABC和△ADE按如图②所示方式摆放，点B落在AE上，CB所在直线交DE于点M，连接AM，求证：BM = DM.
（2）将图①中的△ABC绕点A逆时针方向旋转30°（如图③），然后分别延长BC，DE，它们相交于点F，连接CE. 求证：△CEF为等边三角形.
（3）将图①中的△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°（如图④），线段BC和DE相交于点F，连接CE，求线段CE的长.

答案： 23.
(1)[证明]
∵∠ABC=∠D=90°,
∴∠ABM=∠D=90°.在Rtt△AMB和Rt△AMD中,AM=AM,AB=AD,
∴Rt△AMB≌Rt△AMD(HL),
∴BM=DA.
(2)[证明]
∵CA=AE,∠CAE=30°,
∴∠ACE=∠AEC=75°.
∵AB=BC=AD=DE,∠B=∠D=90°,
∴∠ACB=∠AED=45°,
∴∠BCE=∠CED=120°,,
∴∠FCE=∠FEC=60°,
∴△CEF是等边三角形.
(3)[解]
∵∠EAC=60°,AE=AC,
∴△AEC是等边三角形.
∵AD=DE=4,∠ADE=90°,
∴AE=$\sqrt{AD²+DE²}$=$\sqrt{4²+42}$=4√2,
∴EC=AE=4$\sqrt{2}$