《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

22.(12分)活动课上,同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动.如图①,已知△ABC中,AB = AC,∠B = 40°.将△ABC从图①的位置开始绕点A逆时针旋转,得到△ADE(点D,E分别是点B,C的对应点),旋转角为α(0°＜α＜100°),设线段AD与BC相交于点M,线段DE分别交BC,AC于点O,N.
(1)如图②,在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中,“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN,请你证明这一结论.
(2)当△DOM是等腰三角形时,直接写出旋转角α的度数.
(3)在图②中,作直线BD,CE交于点P.请补全图形.当△DPE中,∠PDE = 90°时,直接写出旋转角α的度数.

答案：

(1)[证明]
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,
　
∴∠C=∠E,AC=AE,∠BAD=∠CAE.
　
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
　
∴AB=AE、∠B=∠E.
　　　　　　　　　　　　　　　　
　
∴△ABM≌△AEN(ASA),
　
∴AM=AN.
(2)[解]旋转角α的度数为40°或70°.
(3)[解]补全图形如图.旋转角α的度数为80°.