《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

8.(月考·23 - 24太原三十七中)如图，已知∠BAC = ∠DAE = 90°，AB = AD，下列条件能使△ABC≌△ADE的是( )
A. ∠E = ∠C B. AE = AC
C. BC = DE D. A，B，C三个答案都是
　　　　　

答案： D

9.(月考·22 - 23太原五中)如图，在△ABC中，∠BAC = 120°，AB = AC = 2$\sqrt{3}$ cm，点P从点B开始以1 cm/s的速度向点C移动，当△ABP为直角三角形时，运动的时间为( )
A. 3 s B. 3 s或4 s C. 1 s或4 s D. 2 s或3 s
　　　　　

答案： B【解析】
∵在△ABC中，∠BAC = 120°，AB = AC = $2\sqrt{3}$cm，
∴∠B = ∠C = 30°。当∠BAP = 90°时，在Rt△BAP中，∠B = 30°，则BP = 2AP，由勾股定理易得AP = $\sqrt{(2AP)^{2}-AB^{2}}$，解得AP = 2 cm或AP = -2 cm（舍），
∴BP = 2AP = 2×2 = 4(cm)，
∴运动时间为4÷1 = 4(s)。当∠APB = 90°时，在Rt△BAP中，∠B = 30°，
∴AP = $\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$(cm)，由勾股定理易得BP = $\sqrt{AB^{2}-AP^{2}} = 3$cm，
∴运动时间为3÷1 = 3(s)。综上，运动时间为3 s或4 s。故选B。

10.(月考·22 - 23山西省实验)在Rt△ABC中，∠C = 90°，小丽进行如图步骤尺规作图，(1)分别以点B，C为圆心，大于$\frac{1}{2}$BC长为半径作圆弧，相交于点E，F，连接EF交BC，AB于点D，G. (2)连接AD. 根据操作，对于下列判断：①AD平分∠BAC；②AD是△ABC的中线；③CG⊥AB；④$S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABD}$. 其中正确的序号是( )
A. ①②③④ B. ②④ C. ③ D. ②③④
　　　　　　　

答案： B【解析】由题意可知，EF为线段BC的垂直平分线，
∴点D为BC中点，
∴AD为Rt△ABC的中线，故②正确；如果AD平分∠BAC，即AD为Rt△ABC的角平分线，那么△ABC为等腰三角形，且AB = AC，由题图可知AB＞AC，
∴AD不平分∠BAC，故①错误；连接CG（图略），假设CG⊥AB，即∠CGB = 90°，
∵EF为线段BC的垂直平分线，
∴BG = CG，
∴△CBG为等腰直角三角形，
∴∠CBG = 45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，即只有当△ABC为等腰直角三角形时，CG⊥AB，故③错误；
∵D为BC中点，
∴BD = CD，
∴△ADC和△ABD为等底同高的三角形，
∴$S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABD}$，故④正确。故选B。

11.(期中·23 - 24运城)用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”应先假设：______________________________.

答案： 在一个三角形中，每个内角都大于60°

12.(月考·22 - 23山西省实验)如图，CE是△ABC的角平分线，EF//BC交AC于点F，则△FEC是______________.
　　　　　

答案： 等腰三角形【解析】
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE = ∠BCE。
∵EF//BC，
∴∠FEC = ∠BCE，
∴∠ACE = ∠FEC，
∴FE = FC，
∴△FEC是等腰三角形。故答案为等腰三角形。

13.(期中·23 - 24山西省实验改编)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，$S_{\triangle ABC}$ = 36，DE = 4，AB = 10，则AC的长是________.
　　　　　

答案：
8【解析】过点D作DF⊥AC于点F，如图。
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF = 4。
∵$S_{\triangle ADB}+S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABC}$，
∴$\frac{1}{2}×4×10+\frac{1}{2}×4×AC = 36$，
∴AC = 8。故答案为8。

14. 新定义问题 等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”. 若等腰△ABC中，∠A = 50°，则它的特征值k = ______________.

答案： $\frac{10}{13}$或$\frac{8}{5}$【解析】①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为$\frac{180^{\circ}-50^{\circ}}{2}=65^{\circ}$，
∴特征值k = $\frac{50^{\circ}}{65^{\circ}}=\frac{10}{13}$；②当∠A为底角时，顶角的度数为180° - 50° - 50° = 80°，
∴特征值k = $\frac{80^{\circ}}{50^{\circ}}=\frac{8}{5}$。综上，特征值k为$\frac{10}{13}$或$\frac{8}{5}$。故答案为$\frac{10}{13}$或$\frac{8}{5}$。

15.(期中·23 - 24晋中太谷区)如图，等腰△ABC中，AB = AC = 6，∠BAC = 120°，AD⊥BC于点D，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，若FE = CF，AE = 2，则EF的长为________.
　　　　　

答案：
$2\sqrt{13}$【解析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N。
∵在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，即AF平分∠BAC，
∴∠FAM = ∠FAN，且∠FMA = ∠FNA = 90°，
∴FM = FN。又
∵在四边形AMFN中，∠BAC = 120°，
∴∠MFN = 360° - ∠BAC - ∠FMA - ∠FNA = 60°。在Rt△EMF与Rt△CNF中，FE = FC，FM = FN，
∴Rt△EMF≌Rt△CNF(HL)，
∴∠MFE = ∠NFC，
∴∠MFE + ∠EFN = ∠NFC + ∠EFN，即∠MFN = ∠EFC，
∴∠CFE = ∠MFN = 60°。
∵FE = FC，
∴△EFC是等边三角形，
∴EF = EC。过点E作EH⊥BC于点H，则∠EHB = ∠EHC = 90°。
∵AB = AC，∠BAC = 120°，
∴∠B = ∠ACB = 30°。
∵AB = 6，AE = 2，
∴BE = AB - AE = 4，
∴EH = $\frac{1}{2}BE = 2$，
∴BH = $\sqrt{BE^{2}-EH^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$。
∵在Rt△ABD中，AD = $\frac{1}{2}AB = 3$，
∴BD = $\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}} = 3\sqrt{3}$，
∴BC = 2BD = $6\sqrt{3}$，
∴HC = BC - BH = $6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
∴EC = $\sqrt{EH^{2}+HC^{2}}=\sqrt{2^{2}+(4\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{13}$，
∴EF = $2\sqrt{13}$。故答案为$2\sqrt{13}$。