《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

20. 教材习题改编(8分)
(1)已知$\frac{3x - 4}{(x - 1)(x - 2)}=\frac{A}{x - 1}+\frac{B}{x - 2}$，求实数$A$，$B$的值.
(2)当$a+\frac{1}{a}=5$时，求$(a - \frac{1}{a})^{2}$的值.

答案：
(1)
∵$\frac{3x−4}{(x−1)(x−2)}$=$\frac{A(x−2)+B(x−1)}{(x−1)(x−2)}$
=$\frac{(A+B)x−2A−B}{(x−1)(x−2)}$,
∴$\begin{cases}A + B = 3\\-2A - B = -4\end{cases}$，解得$\begin{cases}A = 1\\B = 2\end{cases}$.
(2)
∵$a+\frac{1}{a}=5$，
∴$(a - \frac{1}{a})^{2}=(a+\frac{1}{a})^{2}-4a\cdot\frac{1}{a}=25 - 4 = 21$，
∴$(a - \frac{1}{a})^{2}$的值为21.