《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

15.(期末·23 - 24运城盐湖区)如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，∠BAC = 75°，分别以A，C为圆心，以大于1/2AC的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点，过G，H两点作直线，分别交
BC，AC于E，F两点，已知CE = 4 cm，则BC = ______ cm.
　　　

答案：
$(2\sqrt{3}+4)$【解析】如图，连接$AE$. $\because$在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ},\angle BAC = 75^{\circ}$，$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}-\angle BAC = 15^{\circ}$. 由作图可得$GH$垂直平分$AC$，$\therefore AE = CE = 4cm$，$\therefore \angle EAC=\angle ECA = 15^{\circ}$，$\therefore \angle AEB=\angle EAC+\angle ECA = 30^{\circ}$，$\therefore AB=\frac{1}{2}AE = 2cm$，$\therefore BE=\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}=2\sqrt{3}cm$，$\therefore BC = BE+CE=(2\sqrt{3}+4)cm$. 故答案为$(2\sqrt{3}+4)$.

16.(期中·23 - 24运城)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，作BD垂直AD于D，△ACD的面积为8，则△ABC的面积为______.

答案：
16【解析】如图，设$BD$的延长线交$AC$于点$E$. $\because AD$为$\angle BAC$的平分线，$\therefore \angle BAD=\angle EAD$. $\because BD$垂直$AD$于$D$，$\therefore \angle ADB=\angle ADE = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ABD = 90^{\circ}-\angle BAD = 90^{\circ}-\angle EAD=\angle AED$，$\therefore \triangle ABE$为等腰三角形，$\therefore AD$是$\triangle ABE$的中线，$\therefore S_{\triangle ABD}=S_{\triangle AED},S_{\triangle CDB}=S_{\triangle CDE}$，$\therefore S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$. $\because S_{\triangle ACD}=8,\therefore S_{\triangle ABC}=16$. 故答案为 16.

17.如图，在△ABC中，AB = AC，BC = 6，△ABC的面积为30，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F.若D为BC的中点，P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为______.

答案： 13【解析】如图，连接$AD$. $\because AB = AC,\therefore \triangle ABC$是等腰三角形. $\because$点$D$是$BC$边的中点，$\therefore AD\perp BC$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\times6AD = 30$，解得$AD = 10$. $\because EF$是线段$AC$的垂直平分线，$\therefore$点$C$关于直线$EF$的对称点为点$A$，$\therefore AD$的长为$CP+PD$的最小值，$\therefore \triangle CDP$周长的最小值$=AD+\frac{1}{2}BC = 10+\frac{1}{2}\times6 = 13$. 故答案为 13.

18.已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点，如图　　　　　　　　　　　　　书
　(1)如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC的数量关系为____________________.
　(2)如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC的数量关系为____________________.
　(3)如果点P(三角形三个内角平分线的交点)，点O(三角形三边垂直平分线的交点)同时在不等边三角形ABC的内部，请直接写出∠BPC和∠BOC的数量关系.

答案： 【解】
(1)$\angle BPC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC$
分析：$\because BP$平分$\angle ABC,CP$平分$\angle ACB$，$\therefore \angle PBC=\frac{1}{2}\angle ABC,\angle PCB=\frac{1}{2}\angle ACB$，$\therefore \angle BPC = 180^{\circ}-(\angle PBC+\angle PCB)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC$.
(2)$\angle BOC = 2\angle BAC$
分析：连接$AO$(图略). $\because$点$O$是这个三角形三边垂直平分线的交点，$\therefore OA = OB = OC$，$\therefore \angle OAB=\angle OBA,\angle OAC=\angle OCA,\angle OBC=\angle OCB$，$\therefore \angle AOB = 180^{\circ}-2\angle OAB,\angle AOC = 180^{\circ}-2\angle OAC$，$\therefore \angle BOC = 360^{\circ}-(\angle AOB+\angle AOC)=360^{\circ}-(180^{\circ}-2\angle OAB+180^{\circ}-2\angle OAC)=2\angle OAB+2\angle OAC = 2\angle BAC$.
(3)$4\angle BPC-\angle BOC = 360^{\circ}$.
分析：$\because$点$P$为三角形三个内角平分线的交点，$\therefore \angle BPC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC$，即$\angle BAC = 2\angle BPC-180^{\circ}$. $\because$点$O$为三角形三边垂直平分线的交点，$\therefore \angle BOC = 2\angle BAC$，$\therefore \angle BOC = 2(2\angle BPC-180^{\circ})=4\angle BPC-360^{\circ}$，即$4\angle BPC-\angle BOC = 360^{\circ}$.