《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

22. (模考·2023太原万柏林区一模节选)(12分)
(1)任意两个奇数的平方差一定能被8整除. 请你给予证明(提示:设这两个奇数分别为$2m + 1,2n + 1(m,n$均为整数,且$m\neq n)$).
(2)任意两个连续偶数的平方差也一定能被8整除吗? 如果是,请你给予证明;如果不是,请写出你认为正确的结论.

答案：
(1)【证明】设这两个奇数分别为2m + 1，2n + 1(m,n均为整数，且m ≠ n). (2m + 1)² - (2n + 1)²=(4m² + 4m + 1) - (4n² + 4n + 1)=4m² + 4m + 1 - 4n² - 4n - 1=4(m - n)(m + n + 1).
∵m,n均为整数，且m ≠ n，
∴若m,n同为偶数，则m - n为偶数；若m,n一奇一偶，则m + n + 1为偶数.
∴m - n和m + n + 1中必有一个是偶数，
∴4(m - n)(m + n + 1)一定能被8整除.即任意两个奇数的平方差一定能被8整除.
(2)【解】不是正确结论：任意两个连续偶数的平方差一定能被4整除.