《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

6. 教材习题改编 若正方形的面积是4x² + 12xy + 9y²(x＞0，y＞0)，则这个正方形的周长为( )
A. 2x + 6y
B. 2x + 3y
C. 4x + 6y
D. 8x + 12y

答案： D[解析]
∵ 4x² + 12xy + 9y² = (2x + 3y)²，
∴ 正方形边长为2x + 3y，则周长为8x + 12y.故选D.

7. 情境题(月考·23 - 24山西省实验)某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同. 设实际每天植树x棵，则所列方程为( )
A. $\frac{400}{x - 50} = \frac{300}{x}$
B. $\frac{300}{x - 50} = \frac{400}{x}$
C. $\frac{400}{x + 50} = \frac{300}{x}$
D. $\frac{300}{x + 50} = \frac{400}{x}$

答案： B

8. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 6，以点C为圆心的扇形交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为( )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. $\frac{3}{2}\pi - \frac{9}{4}\sqrt{3}$
B. $\frac{3}{4}\pi - \frac{9}{8}\sqrt{3}$
C. $\frac{3}{4}\pi$
D. $\frac{3}{2}\pi$

答案：
C[解析]连接CD，如图.
∵ ∠ACB = 90°，∠A = 30°，AB = 6，
∴ ∠CBA = 60°，BC = $\frac{1}{2}$AB = 3，
∴ S_{扇形CBE}=$\frac{1}{4}$π·BC² = $\frac{9π}{4}$.
由题可知BC = DC = EC = 3，
∴ △CBD为等边三角形，AD = AB - BD = 3，
∴ ∠BCD = 60°，
∴ ∠ACD = 30°，
∴ ∠ACD = $\frac{1}{3}$∠ACB，
∴ S₂ = $\frac{1}{3}$S_{扇形CBE}.
∵ AD = BD = 3，
∴ S_{△BCD}=$\frac{1}{2}$S_{△ABC}.
∵ S_{阴影}=S₁ + S₃ = S_{△ABC}-S₂ - S_{△BCD}+S_{扇形CBE}-S₂ - S_{△BCD}=S_{△ABC}+S_{扇形CBE}-2($\frac{1}{3}$S_{扇形CBE}+$\frac{1}{2}$S_{△ABC})=$\frac{1}{3}$S_{扇形CBE}=$\frac{1}{3}$×$\frac{9π}{4}$ = $\frac{3π}{4}$.故选C.

9. 已知关于x的分式方程$\frac{m}{x - 1} = 1$的解是非负数，则m的取值范围是( )
A. m ≥ -1且m ≠ 0
B. m ≤ 1
C. m ≥ -1且m ≠ 0
D. m ≥ -1

答案： C[解析]分式方程去分母得m = x - 1，即x = m + 1，由分式方程的解为非负数，得m + 1 ≥ 0，且m + 1 ≠ 1，解得m ≥ -1且m ≠ 0.故选C.

10. 已知a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠C = 90°，且a² + 2b² - c² = ab + bc - ac，那么据此判断△ABC的三边比为( )
A. 1 : $\sqrt{2}$ : $\sqrt{3}$
B. 1 : 1 : $\sqrt{2}$
C. 1 : 1 : 1
D. 1 : $\sqrt{3}$ : 2

答案： B[解析]在Rt△ABC中，
∵ ∠C = 90°，
∴ c＞b，a² + b² = c²，
∴ c - b＞0，a² + b² - c² = 0.
∵ a² + 2b² - c² = ab + bc - ac，
∴ 0 + b² = ab + bc - ac，整理得b² - ab - (bc - ac)=0，即b(b - a)-c(b - a)=0，(b - c)(b - a)=0.
∵ c - b＞0，
∴ b - a = 0，即b = a，由勾股定理可得c = $\sqrt{2}$a，
∴ △ABC为等腰直角三角形，其三边比为1 : 1 : $\sqrt{2}$.故选B.

11.(期末·22 - 23长治)分式$\frac{1}{xy}$，$\frac{1}{x^2}$，$\frac{1}{y^2}$的最简公分母为______.

答案： x²y²

12.(模考·2022太原五中)已知a + b = -5，a - b = 1，则a² - b²的值为______.

答案： -5[解析]a² - b² = (a + b)(a - b)= -5. 故答案为 -5.

13.(期中·23 - 24运城改编)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，连接AA'，若AA' = 3 cm，B'C = 4 cm，则BC'的长为______.
　　　　　　

答案： 10 cm[解析]
∵ 将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，
∴ BB' = CC' = AA' = 3 cm.
∵ B'C = 4 cm，BC' = B'B + B'C + C'C = 3 + 4 + 3 = 10(cm).
故答案为10 cm.

14.(期中·21 - 22运城实验中学改编)如图，直线y = x + b和y = kx + 4与x轴分别相交于点A(-4,0)，点B(2,0)，则$\begin{cases}x + b ＞ 0 \\ kx + 4 ＞ 0\end{cases}$的解集为________________.
　　　　　　

答案： -4＜x＜2[解析]由题图可得，当x＞-4时，y = x + b＞0，当x＜2时，y = kx + 4＞0，
∴ {x + b＞0, kx + 4＞0}的解集为 -4＜x＜2. 故答案为 -4＜x＜2.

15.(期末·23 - 24大同)如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 20°，点D是AB边上一点，且AD = CB，过点D作DE//BC，且DE = AB，连接CE，CD，则∠DCE的度数为______.
　　　　　　

答案：
70°[解析]如图所示，连接AE.
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE = ∠B.
∵ AB = DE，AD = BC，
∴ △ADE≌△CBA(SAS)，
∴ AE = AB = AC，DE = AC = AB，
∴ AE = DE.
∵ AB = AC，∠BAC = 20°，
∴ ∠DAE = ∠ADE = ∠B = ∠ACB = 80°.
∴ ∠CAE = ∠DAE - ∠BAC = 80° - 20° = 60°，
∴ △ACE是等边三角形，
∴ CE = AC = AE = DE，∠AEC = ∠ACE = 60°，
∴ △DCE是等腰三角形，
∴ ∠CDE = ∠DCE.
∵ ∠DEC = ∠AEC - ∠AED = 40°，
∴ ∠DCE = ∠CDE = (180° - 40°)÷2 = 70°.
故答案为70°.