《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

21. 思维探索 (期中·23 - 24运城)(10分)阅读下列材料:
解一些复杂的因式分解问题常用到换元法,即对结构比较复杂的多项式,若把其中某些部分看成一个整体,用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化,明朗化,在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用. 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
下面是小张同学用换元法对多项式$(x^{2}-4x)^{2}+8(x^{2}-4x)+16$进行因式分解的过程.
解:设$x^{2}-4x = y$,
原式$=y^{2}+8y + 16$(第一步)
$=(y + 4)^{2}$(第二步)
$=(x^{2}-4x + 4)^{2}$.(第三步)
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小张同学的解法中,第二步运用了因式分解的______.
A. 提取公因式法
B. 平方差公式
C. 完全平方公式
(2)老师说,小张同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果: ______.
(3)请你用换元法对多项式$(x^{2}-2x - 1)(x^{2}-2x + 3)+4$进行因式分解.

答案： 【解】
(1)C
(2)(x - 2)⁴
(3)设y = x² - 2x，原式=(y - 1)(y + 3)+4=y² + 2y - 3 + 4=y² + 2y + 1=(y + 1)²=(x² - 2x + 1)²=(x - 1)⁴.