《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

7.(期末·22 - 23运城盐湖区)在△ABC中，
　　
AB = AC = 6，∠B = 15°，则△ABC的
　　面积为______.

答案：
9【解析】过点$C$作$CD\perp AB$交$BA$的延长线于点$D$，如图. $\because AB = AC = 6,\therefore \angle B=\angle ACB = 15^{\circ}$，$\therefore \angle CAD=\angle B+\angle ACB = 15^{\circ}+15^{\circ}=30^{\circ}$. $\because AC = 6,CD$是$AB$边上的高，$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\times6 = 3,\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times6\times3 = 9$. 故答案为 9.

8.(期末·23 - 24运城盐湖区)如图，△ABC
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 是等边三角形，点P为三角形内一点，连
　　接PA，PB，PC，且PA = 2，PB = 1，PC
　　= √5，则阴影部分的面积为______.

答案：
$1+\frac{\sqrt{3}}{4}$【解析】$\because \triangle ABC$为等边三角形，$\therefore BC = AB,\angle ABC = 60^{\circ}$. 如图，将$\triangle BCP$绕点$B$逆时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle BAP'$，连接$PP'$. 由旋转的性质，得$S_{\triangle BAP'}=S_{\triangle BCP},BP = BP' = 1,CP = AP'=\sqrt{5},\angle PBP' = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle PBP'$为等边三角形，$\therefore PP' = 1$. $\because PP'^{2}+AP^{2}=1 + 4 = 5 = AP'^{2}$，$\therefore \triangle APP'$为直角三角形. 过点$B$作$BD\perp PP'$于$D$，则$DP=\frac{1}{2}PP'=\frac{1}{2},BD=\sqrt{BP^{2}-DP^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore S_{阴影}=S_{\triangle BCP}+S_{\triangle ABP}=S_{\triangle BAP'}+S_{\triangle ABP}=S_{\triangle APP'}+S_{\triangle BPP'}=\frac{1}{2}\times1\times2+\frac{1}{2}\times1\times\frac{\sqrt{3}}{2}=1+\frac{\sqrt{3}}{4}$. 故答案为$1+\frac{\sqrt{3}}{4}$.

9.情境题(期中·23 - 24运城盐湖区)城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地(图中阴影部分).如图，已知∠BDC = 90°，AB = 6 m，AC = BD = 4 m，CD = 2 m，试求这块可绿化的空地的面积.
　

答案： 【解】$\because \angle BDC = 90^{\circ},BD = 4m,CD = 2m$，$\therefore BC=\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}(m)$. $\because AB = 6m,AC = 4m$，$\therefore AC^{2}+BC^{2}=4^{2}+(2\sqrt{5})^{2}=16 + 20 = 36,AB^{2}=36$，$\therefore \triangle ACB$是直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore S_{阴影}=S_{\triangle ACB}-S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}\times4\times2\sqrt{5}-\frac{1}{2}\times4\times2=(4\sqrt{5}-4)(m^{2})$. 答：这块可绿化的空地的面积为$(4\sqrt{5}-4)m^{2}$.

10.(期中·23 - 24忻州)如图所示，在△ABC中，AB = BC，
DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F
　　(1)若∠AFD = 155°，求∠EDF的度数.
(2)若点F是AC的中点，求证：∠CFD = 1/2∠B.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)【解】$\because \angle AFD = 155^{\circ},\therefore \angle DFC = 25^{\circ}$. $\because DF\perp BC,DE\perp AB,\therefore \angle FDC=\angle AED = 90^{\circ}$，$\therefore \angle C = 90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}$. $\because AB = BC,\therefore \angle C=\angle A = 65^{\circ}$，$\therefore \angle EDF = 360^{\circ}-65^{\circ}-155^{\circ}-90^{\circ}=50^{\circ}$.
(2)【证明】如图，连接$BF$. $\because AB = BC$，点$F$是$AC$的中点，$\therefore BF\perp AC,\angle ABF=\angle CBF=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\therefore \angle CFD+\angle BFD = 90^{\circ}$. $\because \angle CBF+\angle BFD = 90^{\circ},\therefore \angle CFD=\angle CBF$，$\therefore \angle CFD=\frac{1}{2}\angle ABC$.