《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

14.已知x = 3是分式方程$\frac{2ax + 3}{a - x}=\frac{3}{4}$的解,则a的值为(　　　)
　
A.-1　　　
　B.1　　　　　
　C.3　　　　
　D.-3

答案： A[解析]
∵$x = 3$是分式方程$\frac{2ax + 3}{a - x}=\frac{3}{4}$的解,
∴$\frac{2a\times3 + 3}{a - 3}=\frac{3}{4}$,
∴$a = -1$.又$a - 3 = -1 - 3 = -4\neq0$,
∴$a = -1$符合题意.故选A.

15.关于x的分式方程$\frac{2x + a}{x + 1}=1$的解为负数,则a的取值范围是(　　　)
　
A.a＞1　　　　　　　　　　　B.a＜1
　
C.a＜1且a≠ -2　　　　　　D.a＞1且a≠2

答案： D[解析]分式方程去分母得$x + 1 = 2x + a$,即$x = 1 - a$.根据分式方程解为负数,得$1 - a ＜ 0$,且$1 - a\neq -1$,解得$a ＞ 1$且$a\neq2$.故选D.

16.(期末·22 - 23朔州)当m =_______时,关于x的方程$\frac{x}{x - 2}=\frac{m - 1}{2 - x}$无解.

答案： -1[解析]
∵关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 2}=\frac{m - 1}{2 - x}$无解,
∴$x - 2 = 0$,
∴$x = 2$.
∵$\frac{x}{x - 2}=\frac{m - 1}{2 - x}$,
∴$x = 1 - m = 2$,
∴$m = -1$.故答案为$-1$.

17.已知关于x的分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$.
　(1)当a = 1,b = 0时,求分式方程的解.
　(2)当a = 1时,求b为何值时分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$有增根.
　(3)若a = 3b,且a,b为正整数,当分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$的解为整数时,求b的值.

答案： [解]
(1)把$a = 1$,$b = 0$代入分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$,得$\frac{1}{2x + 3}-\frac{-x}{x - 5}=1$.
方程两边同时乘$(2x + 3)(x - 5)$,得
$(x - 5)+x(2x + 3)=(2x + 3)(x - 5)$,
$x - 5 + 2x^{2}+3x = 2x^{2}-7x - 15$,
解得$x = -\frac{10}{11}$.
检验:把$x = -\frac{10}{11}$代入$(2x + 3)(x - 5)$,得$(2x + 3)(x - 5)\neq0$,
∴原分式方程的解是$x = -\frac{10}{11}$.
(2)把$a = 1$代入分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$,得$\frac{1}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$.
方程两边同时乘$(2x + 3)(x - 5)$,得
$(x - 5)-(b - x)(2x + 3)=(2x + 3)(x - 5)$,
$x - 5 + 2x^{2}+3x - 2bx - 3b = 2x^{2}-7x - 15$,
$(11 - 2b)x = 3b - 10$.
∵分式方程有增根$x = -\frac{3}{2}$或$x = 5$,且$11 - 2b\neq0$,
∴$x = \frac{3b - 10}{11 - 2b}$.
当$x = -\frac{3}{2}$时,$\frac{3b - 10}{11 - 2b}=-\frac{3}{2}$,$b$不存在;
当$x = 5$时,$\frac{3b - 10}{11 - 2b}=5$,$b = 5$.
综上所述,当$b = 5$时,分式方程$\frac{1}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$有增根.
(3)把$a = 3b$代入分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$,得$\frac{3b}{2x + 3}+\frac{x - b}{x - 5}=1$.
方程两边同时乘$(2x + 3)(x - 5)$,得
$3b(x - 5)+(x - b)(2x + 3)=(2x + 3)(x - 5)$,
整理得$(10 + b)x = 18b - 15$,解得$x = \frac{18b - 15}{10 + b}$.
∵$\frac{18b - 15}{10 + b}=\frac{18(b + 10)-195}{10 + b}=18-\frac{195}{10 + b}$,且$b$为正整数,$x$为整数,
∴$10 + b$必为195的因数,$10 + b\geq11$.
∵$195 = 3\times5\times13$,
∴195的因数有1,3,5,13,15,39,65,195.
由于1,3,5小于11,不合题意,故$10 + b$可以取13,15,39,65,195这五个数.对应地,方程的解$x$为3,5,13,15,17.
由于$x = 5$为分式方程的增根,故应舍去.
对应地,$b$只可以取3,29,55,185.
∴满足条件的$b$可取3,29,55,185这四个数.