《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

21. (模考·2024运城一模)先化简再求值:$(1-\frac{1}{x + 1})\div\frac{x}{x^{2}-1}$，其中$x$满足不等式组$\begin{cases}2x-6\lt0\\1-\frac{x}{3}\lt\frac{5}{3}\end{cases}$且$x$为正整数.

答案： [解]原式$=\frac{x + 1 - 1}{x + 1}\cdot(x + 1)\cdot(x - 1)=x - 1$。
　　解不等式组$\begin{cases}x-\frac{x}{3}-6\lt\frac{5}{3}\\2x\gt0\end{cases}$，得$- 2\lt x\lt3$，
　　$\therefore$不等式组的正整数解为$1$，$2$。
　　$\because x^{2}-1\neq0$，$\therefore x\neq\pm1$，$\therefore$当$x = 2$时，原式$=2 - 1 = 1$。

22. 数学归纳(月考·23 - 24山西省实验)观察下列各式:$\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；$\frac{1}{20}=\frac{1}{4}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；$\frac{1}{30}=\frac{1}{5}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$.
(1) 由此可推断:$\frac{1}{72}=$______=______.
(2) 依据上式规律，$\frac{1}{m(m + 1)}=$____________________，$\frac{2}{m(m + 2)}=$____________________，$\frac{n}{m(m + n)}=$____________________.
(3) 计算:$\frac{1}{(x - 3)(x - 2)}-\frac{2}{(x - 3)(x - 1)}+\frac{1}{(x - 2)(x - 1)}$.

答案： [解]
(1)$\frac{1}{8}\times\frac{1}{9}$　$\frac{1}{8}-\frac{1}{9}$
(2)$\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 1}$　$\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 2}$　$\frac{1}{m}-\frac{1}{m + n}$
(3)$\because\frac{1}{x - 1}-\frac{1}{x - 3}=\frac{(x - 3)-(x - 1)}{(x - 3)(x - 1)}=-\frac{2}{(x - 3)(x - 1)}$，
　　$\therefore-\frac{2}{(x - 3)(x - 1)}=\frac{1}{x - 1}-\frac{1}{x - 3}$，
　　$\therefore\frac{1}{(x - 3)(x - 2)}-\frac{2}{(x - 3)(x - 1)}+\frac{1}{(x - 2)(x - 1)}$
　　$=(\frac{1}{x - 3}-\frac{1}{x - 2})+(\frac{1}{x - 1}-\frac{1}{x - 3})+(\frac{1}{x - 2}-\frac{1}{x - 1})$
　　$=\frac{1}{x - 3}-\frac{1}{x - 2}+\frac{1}{x - 1}-\frac{1}{x - 3}+\frac{1}{x - 2}-\frac{1}{x - 1}=0$。

23. (期末·23 - 24运城盐湖区)解分式方程:$\frac{1 - x}{x - 2}+2=\frac{1}{2 - x}$，可知方程( )
A. 解为$x = 4$
B. 解为$x = 3$
C. 解为$x = 2$
D. 无解

答案： D[解析]原方程可变形为$\frac{1 - x}{x - 2}+2=-\frac{1}{x - 2}$，两边都乘$x - 2$，
　　得$(1 - x)+2(x - 2)= - 1$，解得$x = 2$。代入最简公分母$x - 2 = 0$，
　　因此原分式方程无解。故选D。