《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

21.(月考·22 - 23山西省实验)(10分)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，且BE = AC.
(1)求证：AD⊥BC.
(2)若∠C = 70°，求∠BAC的度数.
　

答案：

(1)【证明】如图，连接AE。
∵EF垂直平分AB，
∴EB = EA。
∵BE = AC，
∴AE = AC。
∵D为线段CE的中点，
∴AD⊥BC。
(2)【解】
∵AE = BE，
∴∠B = ∠BAE，
∴∠AEC = ∠B + ∠BAE = 2∠B。
∵AE = AC，
∴∠AEC = ∠C = 70°，
∴∠B = $\frac{1}{2}×70^{\circ}=35^{\circ}$，
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 75°。

22.(12分)如图，已知AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，且AD = AF，AC = AE.
(1)求证：BC = BE.
(2)若∠DBF = ∠BAC = 30°，AC = 4，求AD的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)【证明】
∵AD，AF分别是钝角三角形ABC与钝角三角形ABE的高，且AC = AE，AD = AF，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，
∴CD = EF。
∵AB = AB，AD = AF，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，
∴BD = BF，
∴BD - CD = BF - EF，即BC = BE。
(2)【解】
∵∠D = ∠F = 90°，AD = AF，
∴BA平分∠DBF，
∴∠DBA = $\frac{1}{2}∠DBF = 15^{\circ}$，
∴∠DCA = ∠BAC + ∠DBA = 45°，
∴Rt△ADC为等腰直角三角形，
∴AD = DC。在Rt△ADC中，由勾股定理可得$AD^{2}+DC^{2}=AC^{2}=4^{2}$，
∴AD = $2\sqrt{2}$。

23. 探究性问题(月考·23 - 24太原三十七中)(13分)
问题初探：
(1)数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB = AC，点F是AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED = DF，求证：BE = CF.
①如图②，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM = BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论.
②如图③，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路，过点E作EM//AC交CB的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论.
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程.
　　　　　　
类比分析：
(2)李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好地理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答.
如图④，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若∠EAD+∠ANC = 180°. 求证：AB = CN.
学以致用：
(3)如图⑤，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，∠C = 30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED//AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD = CD，请直接写出线段AE，CN和BC之间的数量关系.
　

答案：

(1)【证明】①
∵ED = DF，DM = BD，∠BDE = ∠MDF，
∴△BDE≌△MDF(SAS)，
∴BE = MF，∠DBE = ∠DMF，
∴180° - ∠DBE = 180° - ∠DMF，即∠ABC = ∠FMC。
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠C，
∴∠FMC = ∠C，
∴MF = CF，
∴BE = CF。②
∵EM//AC，
∴∠EMD = ∠C。
∵∠MDE = ∠CDF，ED = DF，
∴△DEM≌△DFC(AAS)，
∴ME = CF。
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠C。
∵∠EMD = ∠C，∠MBE = ∠ABC，
∴∠EMD = ∠MBE，
∴ME = BE，
∴BE = CF。
(2)【证明】如图①，延长AD，使得AD = DM，连接CM。
∵D是BC的中点，
∴BD = CD。
∵AD = DM，∠ADB = ∠MDC，
∴△ABD≌△MCD(SAS)，
∴∠EAD = ∠CMN，AB = MC。
∵∠EAD + ∠ANC = 180°，∠ANE + ∠ANC = 180°，
∴∠EAD = ∠ANE。
∵∠ANE = ∠CNM，∠EAD = ∠CMN，
∴∠CNM = ∠CMN，
∴CN = MC，
∴AB = CN。
(3)【解】CN - AE = $\frac{1}{2}BC$。分析：如图②，延长ED，使得DM = ED，连接CM。
∵CD = BD，∠CDM = ∠BDE，DM = ED，
∴△CDM≌△BDE(SAS)，
∴CM = BE，∠M = ∠BED，
∴CM//BE，
∴∠ACM = 180° - ∠BAC = 90°。
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF = $\frac{1}{2}∠BAC = 45^{\circ}$。
∵ED//AF，
∴∠CNM = ∠CAF = 45°，
∴∠M = 180° - ∠CNM - ∠ACM = 45°，
∴∠CNM = ∠M，
∴CN = CM，
∴CN = BE。
∵∠ACB = 30°，∠BAC = 90°，
∴AB = $\frac{1}{2}BC$。
∵BE - AE = AB = $\frac{1}{2}BC$，
∴CN - AE = $\frac{1}{2}BC$。