《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

21. 数学归纳(月考·22 - 23太原五中)(10分)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:
设∠BAC = θ(0°＜θ＜90°). 现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线AB,AC上.
活动一:
如图①所示,从点A₁开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直,A₁A₂为第1根小棒.
(1)设AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = 1.
①θ = ______度;
②若记小棒A₂ₙ₋₁A₂ₙ的长度为aₙ(n为正整数,如A₁A₂ = a₁,A₃A₄ = a₂, …),则a₂ = ______,a₃ = ______,并直接写出aₙ = ______(用含n的式子表示).
活动二:
如图②所示,从点A₁开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A₁A₂为第1根小棒,且A₁A₂ = AA₁.
数学思考:
(2)若已经摆放了3根小棒,则θ₁ = ______,θ₂ = ______,θ₃ = ______.(用含θ的式子表示)
(3)若只能摆放4根小棒,求θ的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】
(1)①22.5
②$1+\sqrt{2}$ $(\sqrt{2}+1)^{2}$ $(\sqrt{2}+1)^{n - 1}$
(2)2θ 3θ 4θ
(3)由
(2)可得$\theta_{n}=(n + 1)\theta$，
∴ 根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得
$\begin{cases}\theta_{4}=5\theta\geqslant90^{\circ},\\\theta_{3}=4\theta＜90^{\circ},\end{cases}$解得$18^{\circ}\leqslant\theta＜22.5^{\circ}$.

22. 情境题(期中·23 - 24山西省实验)(12分)增强青少年体质,促进青少年健康成长,是关系国家和民族未来的大事. 某校为加强学生体育锻炼,决定购买羽毛球和羽毛球拍若干. 甲、乙两家体育用品商店出售同一品牌同一规格的羽毛球和羽毛球拍,羽毛球每个定价4元,羽毛球拍每副定价50元. 现两家商店都搞促销活动:甲店每出售一副球拍赠2个羽毛球;乙店球拍和羽毛球均按九折优惠. 若该校需购12副球拍,x个羽毛球(x≥24). 在甲店购买付款y₁(元),在乙店购买付款y₂(元).
(1)请分别写出y₁、y₂与x的函数关系式.
(2)请通过计算回答,该校选择哪种购买方案更合算?

答案： 【解】
(1)由题意可得，$y_{甲}=50\times12 + 4(x - 24)$，$y_{乙}=50\times12\times0.9+4\times0.9x$，
∴$y_{甲}=4x + 504$，$y_{乙}=3.6x + 540$.
(2)当$y_{甲}=y_{乙}$时，$4x + 504 = 3.6x + 540$，解得$x = 90$，
当$y_{甲}＞y_{乙}$时，$4x + 504＞3.6x + 540$，解得$x＞90$，
当$y_{甲}＜y_{乙}$时，$4x + 504＜3.6x + 540$，解得$x＜90$.
答：当$x = 90$时，在甲、乙商店购买总费用一样；当$x＞90$时，在乙商店购买更合算；当$24\leqslant x＜90$时，在甲商店购买更合算.