《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

14. 利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题:
(1) 因式分解:$x^{2}-4x + 4=$__________.
(2) ①当$x=-2$时，代数式$x^{2}+4x + 4=$__________.
②当$x=$__________时，代数式$x^{2}-6x + 9$的值为0.
③代数式$x^{2}+8x + 20$的最小值是__________.
(3) 拓展与应用:求代数式$a^{2}+b^{2}-6a + 8b + 28$的最小值.

答案： [解]
(1)$(x - 2)^{2}$
(2)①$0$
　　分析：当$x = - 2$时，$x^{2}+4x + 4=(x + 2)^{2}=(- 2 + 2)^{2}=0$。
　　②$3$
　　分析：$\because x^{2}-6x + 9 = 0$，$\therefore (x - 3)^{2}=0$，$\therefore x_{1}=x_{2}=3$。
　　③$4$
　　分析：$\because x^{2}+8x + 20=(x + 4)^{2}+4$，
　　$\therefore$当$x = - 4$时，$x^{2}+8x + 20$取得最小值$4$。
(3)$\because a^{2}+b^{2}-6a + 8b + 28=(a - 3)^{2}+(b + 4)^{2}+3≥3$，
　　$\therefore$代数式$a^{2}+b^{2}-6a + 8b + 28$的最小值是$3$。

15. 下列$x$的值中，使分式$\frac{x - 2}{x - 3}$无意义的是( )
A. $x = 3$
B. $x=-3$
C. $x = 2$
D. $x=-2$

答案： A

16. (期末·22 - 23晋中)下列分式是最简分式的为( )
A. $\frac{2m}{10mn}$
B. $\frac{m^{2}-n^{2}}{m + n}$
C. $\frac{m^{2}+n^{2}}{m + n}$
D. $\frac{2a}{a^{2}}$

答案： C

17. (月考·23 - 24山西省实验)计算$\frac{a + 1}{a + 2}+\frac{1}{a + 2}$的结果是( )
A. 1
B. $\frac{2}{a + 2}$
C. $a + 2$
D. $\frac{a}{a + 2}$

答案： A[解析]原式$=\frac{a + 1 + 1}{a + 2}=1$。故选A。

18. (月考·23 - 24大同一中)下列各式从左到右的变形正确的是( )
A. $\frac{x + 1}{y + 1}=\frac{x}{y}$
B. $\frac{x^{2}}{xy}=\frac{x}{y}$
C. $\frac{x}{y}=\frac{x^{2}}{y^{2}}$
D. $\frac{-x - y}{-x + y}=\frac{x - y}{x + y}$

答案： B

19. 如果分式$\frac{x^{2}-9}{x + 3}$的值为0，那么$x$的取值是______________.

答案： 3　[解析]由题意，可得$x^{2}-9 = 0$，$x + 3\neq0$，解得$x = 3$。
　　故答案为$3$。

20. 程序框图(月考·22 - 23山西省实验)有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行，这种运算的过程如下:

则第4次运算的结果$y_{4}=$______.(用含$x$的代数式表示)

答案： $\frac{16x}{15x + 1}$　[解析]$\because y=\frac{2x}{x + 1}$，
　　$\therefore y_{1}=\frac{2y}{y + 1}=\frac{2\times\frac{2x}{x + 1}}{\frac{2x}{x + 1}+1}=\frac{4x}{3x + 1}$，
　　$\therefore y_{2}=\frac{2y_{1}}{y_{1}+1}=\frac{2\times\frac{4x}{3x + 1}}{\frac{4x}{3x + 1}+1}=\frac{8x}{7x + 1}$，
　　$\therefore y_{3}=\frac{2y_{2}}{y_{2}+1}=\frac{2\times\frac{8x}{7x + 1}}{\frac{8x}{7x + 1}+1}=\frac{16x}{15x + 1}$。
故答案为$\frac{16x}{15x + 1}$。