《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

16.(期中·22 - 23山大附中)(8分)如图，在△ABC中，已知D是边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE = CF，∠BDE = 30°. 求证：△ABC是等边三角形.
　

答案： 【证明】
∵D是BC的中点，
∴BD = CD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形。在Rt△BED和Rt△CFD中，BD = CD，BE = CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴∠B = ∠C，
∴AB = AC。
∵∠BDE = 30°，DE⊥AB，
∴∠B = 60°，
∴△ABC是等边三角形。

17.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，连接AG. 求证：AG平分∠BAC.
　　　　

答案：
【证明】如图，过点G作GH⊥BC于点H，GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N。
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠ACB，
∴GM = GH，GN = GH，
∴GM = GN。
∵GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，
∴AG平分∠BAC。