《2025年真题圈八年级数学下册北师大版》

15. (月考·22 - 23山西省实验)如图，在□ABCD中，AB = 8 cm，AD = 16 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止)，在运动过程中，当运动时间为__________s时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形.

答案： $\frac{32}{5}$或$\frac{32}{3}$或$\frac{64}{5}$　[解析]设经过t(t ＜ 16)s，以P，D，Q，B四点组成的四边形为平行四边形。
∵以点P，D，Q，B为顶点组成的四边形为平行四边形，
∴DP = BQ，PD = (16 - t)cm。
分以下情况讨论:
①点Q的运动路线是C→B时，方程为16 - 4t = 16 - t，解得t = 0，此时不符合题意;
②点Q的运动路线是C→B→C时，方程为4t - 16 = 16 - t，解得t = $\frac{32}{5}$;
③点Q的运动路线是C→B→C→B时，方程为16 - (4t - 32) = 16 - t，解得t = $\frac{32}{3}$;
④点Q的运动路线是C→B→C→B→C时，方程为4t - 48 = 16 - t，解得t = $\frac{64}{5}$。
故答案为$\frac{32}{5}$或$\frac{32}{3}$或$\frac{64}{5}$。

16. 在△ABC中，AB = AC = 6，BC = 4，D为AB边上一动点，E为平面内一点，以点B，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为__________.

答案：
$\frac{8\sqrt{2}}{3}$[解析]当BC是对角线时，如图所示，过点A作AN⊥CB于点N，过点C作CF⊥AB于点F，当ED⊥AB于点D时，此时DE取得最小。
∵AB = AC = 6，BC = 4，AN⊥CB，
∴NB = CN = 2，
∴AN = $\sqrt{6^{2}-2^{2}}$ = 4$\sqrt{2}$，
∴AN·BC = CF·AB，
∴CF = $\frac{4\sqrt{2}\times4}{6}$ = $\frac{8\sqrt{2}}{3}$。
∵四边形CDBE是平行四边形，CF⊥AB，ED⊥AB，
∴CF = DE = $\frac{8\sqrt{2}}{3}$。
当BC是平行四边形的边时，DE = BC = 4。
∵4 ＞ $\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
∴DE的最小值为$\frac{8\sqrt{2}}{3}$。故答案为$\frac{8\sqrt{2}}{3}$。

17. 如图，等边三角形ABC的边长为10 cm，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以3 cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C的方向以2 cm/s的速度运动，且动点M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动. 那么运动到第________秒时，点A，M，N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形.

答案：
2或6[解析]分情况讨论:
①当0 ≤ t ≤ $\frac{10}{3}$时，点M，N，D的位置如图①所示，
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DM = AN，DM//AN，DN//AB，
∴∠MDB = ∠C = 60°，∠NDC = ∠B = 60°，
∴∠NDC = ∠C，
∴ND = NC，
∴DM + DN = AN + NC = AC = 10，即3t + 2t = 10，
∴t = 2。
②当$\frac{10}{3}$ ＜ t ≤ 5时，A，M，N三点在同一直线上，不能构成平行四边形。
③5 ＜ t ≤ $\frac{20}{3}$时，点M，N，D的位置如图②所示，
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN = AM，AM//DN，
∴∠NDB = ∠ACB = 60°。
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B = 60°，
∴∠NDB = ∠B，
∴ND = NB，
∴NB + MC = AM + CM = 10，3t - 10 + 2t - 10 = 10，解得t = 6。
④当$\frac{20}{3}$ ＜ t ≤ 10时，点M，N，D的位置如图③所示，则BN = 20 - 2t，BM = 30 - 3t，由题意可知，△BNM为等边三角形，
∴BN = BM，即20 - 2t = 30 - 3t，解得t = 10，此时M，N重合，不能构成平行四边形。
综上，t的值为2或6。故答案为2或6。

18. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD = 24 cm，BC = 30 cm，点P自点A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止，点Q自点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止，直线PQ将梯形截成两个四边形. 问：若点P，Q同时出发，则几秒后其中一个四边形是平行四边形?

答案： [解]设若点P，Q同时出发，则t s后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形。
根据题意，得AP = t cm，PD = (24 - t)cm，CQ = 2t cm，BQ = (30 - 2t)cm。
(1)若四边形PDCQ是平行四边形，则PD = CQ，
∴24 - t = 2t，
∴t = 8，
∴8 s后四边形PDCQ是平行四边形。
(2)若四边形APQB是平行四边形，则AP = BQ，
∴t = 30 - 2t，
∴t = 10，
∴10 s后四边形APQB是平行四边形。
综上，若点P，Q同时出发，则8 s或10 s后其中一个四边形是平行四边形。